ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 11.15 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Фигура ограничена линиями:
\( y = x \), \( y = 0 \), \( x = 3 \), \( x = 12 \);

1) Площадь фигуры:
\( S = \int_{3}^{12} 2x \, dx = 2 \ln{|x|} \Big|_{3}^{12} \).
\( S = 2 \ln{12} — 2 \ln{3} = 2 \ln{4} \).

2) Половина площади:
\( \int_{3}^{a} 2x \, dx = 2 \ln{|x|} \Big|_{3}^{a} \).
\( 2 \ln{a} — 2 \ln{3} = \ln{4} \).
\( \ln{a^2} — \ln{9} = \ln{4} \).
\( \ln{a^2} = \ln{36} \).
\( a^2 = 36, \, a = 6 \).

Ответ: \( a = 6 \).

Фигура ограничена линиями:

\(
y = \frac{2}{x}, \quad y = 0, \quad x = 3, \quad x = 12.
\)

Площадь фигуры вычисляется следующим образом:

\(
S = \int_{3}^{12} \frac{2}{x} \, dx
\)

Выполним интегрирование:

\(
\int \frac{2}{x} \, dx = 2 \ln(|x|)
\)

Подставляем пределы интегрирования:

\(
S = 2 \ln(|x|) \Big|_{3}^{12}
\)

Раскрываем пределы:

\(
S = 2 \ln(12) — 2 \ln(3)
\)

Применяем свойство логарифмов \(\ln(a) — \ln(b) = \ln\left(\frac{a}{b}\right)\):

\(
S = 2 \ln\left(\frac{12}{3}\right)
\)

Упрощаем дробь:

\(
S = 2 \ln(4)
\)

Половина площади:

\(
\frac{S}{2} = \int_{3}^{a} \frac{2}{x} \, dx
\)

Интеграл уже вычислен ранее, подставляем результат:

\(
\frac{S}{2} = 2 \ln(|x|) \Big|_{3}^{a}
\)

Раскрываем пределы:

\(
2 \ln(a) — 2 \ln(3) = \ln(4)
\)

Применяем свойство логарифмов \(c \ln(a) = \ln(a^c)\):

\(
\ln(a^2) — \ln(9) = \ln(4)
\)

Снова используем свойство логарифмов \(\ln(a) — \ln(b) = \ln\left(\frac{a}{b}\right)\):

\(
\ln\left(\frac{a^2}{9}\right) = \ln(4)
\)

Убираем логарифмы, так как \(\ln(x) = \ln(y)\) означает \(x = y\):

\(
\frac{a^2}{9} = 4
\)

Умножаем обе стороны на 9:

\(
a^2 = 36
\)

Берем квадратный корень:

\(
a = 6
\)

Ответ: \(a = 6\).