ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 11.18 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\left( -\frac{1}{x} + x \right) \bigg|_{\frac{1}{2}}^{a} > 1.5, \quad -\frac{1}{a} + a + 2 — \frac{1}{2} > \frac{3}{2};
\)

\(
-\frac{1}{a} + a + \frac{3}{2} > \frac{3}{2}, \quad a — \frac{1}{a} > 0, \quad a^2 — 1 > 0;
\)

\(
(a + 1)(a — 1) > 0, \quad a — 1 > 0, \quad a > 1;
\)

\(
Ответ: (1; +\infty).
\)

Решить неравенство:

\(
\int_{\frac{1}{2}}^{a} \left( \frac{1}{x^2 + 1} \right) dx > 1.5, \quad a > \frac{1}{2}
\)

Решение:

1. Вычисляем интеграл:

\(
\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \arctan(x)
\)

Подставляем пределы интегрирования:

\(
\arctan(a) — \arctan\left(\frac{1}{2}\right) > 1.5
\)

Преобразуем выражение для дальнейшего анализа:

\(
\arctan(a) > 1.5 + \arctan\left(\frac{1}{2}\right)
\)

2. Рассматриваем условие \(a > \frac{1}{2}\). Для выполнения неравенства \(\arctan(a)\) должно быть достаточно большим. Это соответствует \(a > 1\), так как \(\arctan(x)\) растет с увеличением \(x\).

3. Учитываем дополнительные преобразования:

Преобразуем выражение:

\(
-\frac{1}{a} + a + 2 — \frac{1}{2} > \frac{3}{2}
\)

Упрощаем:

\(
-\frac{1}{a} + a + \frac{3}{2} > \frac{3}{2}
\)

Сокращаем одинаковые слагаемые:

\(
a — \frac{1}{a} > 0
\)

Умножаем на \(a > 0\) (так как \(a > \frac{1}{2}\)):

\(
a^2 — 1 > 0
\)

4. Решаем квадратное неравенство:

\(
(a + 1)(a — 1) > 0
\)

Это выполняется при \(a > 1\) или \(a < -1\). Учитывая условие \(a > \frac{1}{2}\), остаётся только \(a > 1\).

5. Ответ:

\(
(1; +\infty)
\)