ГДЗ по Алгебре 11 Класс Базовый Уровень Учебник 📕 Мерзляк, Номировский — Все Части

Алгебра

11 класс учебник Мерзляк

11 класс

Авторы

Мерзляк А.Г., Номировский Д.А., Поляков В.М.

Издательство

Вентана-граф

Тип книги

Учебник

Год

2019

Описание

Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .

Основные особенности учебника

Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.
Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.
Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.
Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.
Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.

Почему стоит выбрать этот учебник?

Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.

ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 11.18 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Задача

При каких значениях а выполняется неравенство\(
\int_{\frac{1}{2}}^{a} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx > 1.5, \quad \text{где } a > \frac{1}{2}.
\)

Краткий ответ:

\(
\left( -\frac{1}{x} + x \right) \bigg|_{\frac{1}{2}}^{a} > 1.5, \quad -\frac{1}{a} + a + 2 — \frac{1}{2} > \frac{3}{2};
\)

\(
-\frac{1}{a} + a + \frac{3}{2} > \frac{3}{2}, \quad a — \frac{1}{a} > 0, \quad a^2 — 1 > 0;
\)

\(
(a + 1)(a — 1) > 0, \quad a — 1 > 0, \quad a > 1;
\)

\(
Ответ: (1; +\infty).
\)

Подробный ответ:

Решить неравенство:

\(
\int_{\frac{1}{2}}^{a} \left( \frac{1}{x^2 + 1} \right) dx > 1.5, \quad a > \frac{1}{2}
\)

Решение:

1. Вычисляем интеграл:

\(
\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \arctan(x)
\)

Подставляем пределы интегрирования:

\(
\arctan(a) — \arctan\left(\frac{1}{2}\right) > 1.5
\)

Преобразуем выражение для дальнейшего анализа:

\(
\arctan(a) > 1.5 + \arctan\left(\frac{1}{2}\right)
\)

2. Рассматриваем условие \(a > \frac{1}{2}\). Для выполнения неравенства \(\arctan(a)\) должно быть достаточно большим. Это соответствует \(a > 1\), так как \(\arctan(x)\) растет с увеличением \(x\).

3. Учитываем дополнительные преобразования:

Преобразуем выражение:

\(
-\frac{1}{a} + a + 2 — \frac{1}{2} > \frac{3}{2}
\)

Упрощаем:

\(
-\frac{1}{a} + a + \frac{3}{2} > \frac{3}{2}
\)

Сокращаем одинаковые слагаемые:

\(
a — \frac{1}{a} > 0
\)

Умножаем на \(a > 0\) (так как \(a > \frac{1}{2}\)):

\(
a^2 — 1 > 0
\)

4. Решаем квадратное неравенство:

\(
(a + 1)(a — 1) > 0
\)

Это выполняется при \(a > 1\) или \(a < -1\). Учитывая условие \(a > \frac{1}{2}\), остаётся только \(a > 1\).

5. Ответ:

\(
(1; +\infty)
\)

Оцени решение