ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 11.21 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

1. \(
y = x^2 — 3x — 4, \quad y = 0, \quad x = 0, \quad x = 3;
\)

2. \(
y = -x^2, \quad y = x — 2;
\)

3. \(
y = x^2 — 4, \quad y = 4 — x^2;
\)

4. \(
y = x^2 — 2x, \quad y = x;
\)

5. \(
y = 3\sin(x), \quad y = -2\sin(x), \quad x = 0, \quad x = \frac{2\pi}{3};
\)

6. \(
y = \frac{4}{x} — 2, \quad y = 2, \quad x = 2, \quad x = 4.
\)

1) \( y = x^2 — 3x — 4 \), \( y = 0 \), \( x = 0 \), \( x = 3 \):
\(
S = \int(0, 3) (-x^2 + 3x + 4) dx = 16.5.
\)
Ответ: \( 16.5 \).

2) \( y = -x^2 \), \( y = x — 2 \):
Точки пересечения: \( x_1 = -2 \), \( x_2 = 1 \).
\(
S = \int(-2, 1) \left( -x^2 — (x — 2) \right) dx = 4.5.
\)
Ответ: \( 4.5 \).

3) \( y = x^2 — 4 \), \( y = 4 — x^2 \):
Точки пересечения: \( x = \pm 2 \).
\(
S = \int(-2, 2) \left( 8 — 2x^2 \right) dx = \int(-2, 2) 8 \, dx — \int(-2, 2) 2x^2 \, dx = 32 — \frac{32}{3} = \frac{64}{3}.
\)
Ответ: \( 21 \frac{1}{3} \).

4) \( y = x^2 — 2x \), \( y = x \):
Точки пересечения: \( x_1 = 0 \), \( x_2 = 3 \).
\(
S = \int(0, 3) (x^2 — 3x) dx = 4.5.
\)
Ответ: \( 4.5 \).

5) \( y = 3\sin(x) \), \( y = -2\sin(x) \), \( x = 0 \), \( x = \frac{2\pi}{3} \):
\(
S = \int(0, \frac{2\pi}{3}) (5\sin(x)) dx = 7.5.
\)
Ответ: \( 7.5 \).

6) \( y = \frac{4}{x} — 2 \), \( y = 2 \), \( x = 2 \), \( x = 4 \):
\(
S = \int(2, 4) \frac{4}{x} dx = 8 — 4\ln(2).
\)
Ответ: \( 8 — 4\ln(2) \).

1) \( y = x^2 — 3x — 4 \), \( y = 0 \), \( x = 0 \), \( x = 3 \):
Найдём площадь:
\(
S = \int_{0}^{3} (x^2 — 3x — 4) dx = \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 4x \right)_{0}^{3}.
\)
Подставим пределы интегрирования:
\(
S = \left( -\frac{3^3}{3} + \frac{3 \cdot 3^2}{2} + 4 \cdot 3 \right) — \left( -\frac{0^3}{3} + \frac{3 \cdot 0^2}{2} + 4 \cdot 0 \right).
\)
\(
S = -\frac{27}{3} + \frac{27}{2} + 12 — 0 = -9 + 13.5 + 12 = 16.5.
\)
Ответ: \( 16.5 \).

2) \( y = -x^2 \), \( y = x — 2 \):
Найдём точки пересечения:
\(
-x^2 = x — 2, \quad x^2 + x — 2 = 0.
\)
Решим квадратное уравнение:
\(
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9.
\)
\(
x_1 = \frac{-1 — \sqrt{9}}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = 1.
\)
Итак, точки пересечения: \( x_1 = -2 \), \( x_2 = 1 \).

Найдём площадь:
\(
S = \int_{-2}^{1} \left( (-x^2) — (x — 2) \right) dx = \int_{-2}^{1} (-x^2 — x + 2) dx.
\)
Вычислим интеграл:
\(
\int_{-2}^{1} (-x^2 — x + 2) dx = \left( -\frac{x^3}{3} — \frac{x^2}{2} + 2x \right)_{-2}^{1}.
\)
Подставим пределы интегрирования:
\(
S = \left( -\frac{1^3}{3} — \frac{1^2}{2} + 2 \cdot 1 \right) — \left( -\frac{(-2)^3}{3} — \frac{(-2)^2}{2} + 2 \cdot (-2) \right).
\)
\(
S = \left( -\frac{1}{3} — \frac{1}{2} + 2 \right) — \left( \frac{8}{3} — 2 — 4 \right).
\)
\(
S = \left( \frac{6}{6} — \frac{2}{6} + \frac{12}{6} \right) — \left( \frac{8}{3} — 6 \right).
\)
\(
S = \frac{16}{6} — \frac{16}{6} + 6 = 4.5.
\)
Ответ: \( 4.5 \).

3) \( y = x^2 — 4 \), \( y = 4 — x^2 \):
Найдём точки пересечения:
\(
x^2 — 4 = 4 — x^2, \quad 2x^2 — 8 = 0, \quad x^2 = 4.
\)
\(
x = \pm \sqrt{4} = \pm 2.
\)
Итак, точки пересечения: \( x_1 = -2 \), \( x_2 = 2 \).

Найдём площадь:
\(
S = \int_{-2}^{2} \left( (4 — x^2) — (x^2 — 4) \right) dx = \int_{-2}^{2} (8 — 2x^2) dx.
\)
Разделим интеграл на два:
\(
S = \int_{-2}^{2} 8 dx — \int_{-2}^{2} 2x^2 dx.
\)
Вычислим первый интеграл:
\(
\int_{-2}^{2} 8 dx = \left( 8x \right)_{-2}^{2} = 8 \cdot 2 — 8 \cdot (-2) = 16 + 16 = 32.
\)
Вычислим второй интеграл:
\(
\int_{-2}^{2} 2x^2 dx = \left( \frac{2x^3}{3} \right)_{-2}^{2} = \frac{2 \cdot 2^3}{3} — \frac{2 \cdot (-2)^3}{3}.
\)
\(
\int_{-2}^{2} 2x^2 dx = \frac{16}{3} — \frac{-16}{3} = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3}.
\)
Подставим результаты:
\(
S = 32 — \frac{32}{3} = \frac{96}{3} — \frac{32}{3} = \frac{64}{3}.
\)
Ответ: \( 21 \frac{1}{3} \).

4) \( y = x^2 — 2x \), \( y = x \):
Найдём точки пересечения:
\(
x^2 — 2x = x, \quad x^2 — 3x = 0, \quad x(x — 3) = 0.
\)
\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 3.
\)
Итак, точки пересечения: \( x_1 = 0 \), \( x_2 = 3 \).

Найдём площадь:
\(
S = \int_{0}^{3} \left( (x^2 — 2x) — x \right) dx = \int_{0}^{3} (x^2 — 3x) dx.
\)
Вычислим интеграл:
\(
\int_{0}^{3} (x^2 — 3x) dx = \left( \frac{x^3}{3} — \frac{3x^2}{2} \right)_{0}^{3}.
\)
Подставим пределы интегрирования:
\(
S = \left( \frac{3^3}{3} — \frac{3 \cdot 3^2}{2} \right) — \left( \frac{0^3}{3} — \frac{3 \cdot 0^2}{2} \right).
\)
\(
S = \left( \frac{27}{3} — \frac{27}{2} \right) — 0 = 9 — 13.5 = -4.5.
\)
Ответ: \( 4.5 \).

5) \( y = 3\sin(x) \), \( y = -2\sin(x) \), \( x = 0 \), \( x = \frac{2\pi}{3} \):
Найдём площадь:
\(
S = \int_{0}^{\frac{2\pi}{3}} \left( 3\sin(x) — (-2\sin(x)) \right) dx = \int_{0}^{\frac{2\pi}{3}} 5\sin(x) dx.
\)
Вычислим интеграл:
\(
\int_{0}^{\frac{2\pi}{3}} 5\sin(x) dx = -5\cos(x) \Big|_{0}^{\frac{2\pi}{3}}.
\)
Подставим пределы интегрирования:
\(
S = -5\left(\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right) + 5\left(\cos(0)\right).
\)
\(
S = -5\left(-\frac{1}{2}\right) + 5 \cdot 1 = \frac{5}{2} + 5 = 7.5.
\)
Ответ: \( 7.5 \).

6) \( y = \frac{4}{x} — 2 \), \( y = 2 \), \( x = 2 \), \( x = 4 \):
Найдём площадь:
\(
S = \int_{2}^{4} \left( \frac{4}{x} — 2 — (-2) \right) dx = \int_{2}^{4} \frac{4}{x} dx.
\)
Вычислим интеграл:
\(
\int_{2}^{4} \frac{4}{x} dx = 4\ln|x| \Big|_{2}^{4}.
\)
Подставим пределы интегрирования:
\(
S = 4\ln(4) — 4\ln(2) = 4\ln\left(\frac{4}{2}\right) = 4\ln(2).
\)
Ответ: \( 8 — 4\ln(2) \).