Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 11.22 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
1) \(
y = x^2 — 4x, \quad y = x — 4;
\)
2) \(
y = 3 — x^2, \quad y = 2x;
\)
3) \(
y = \cos(x), \quad y = -2\cos(x), \quad x = -\frac{\pi}{6}, \quad x = \frac{\pi}{2};
\)
4) \(
y = 4 — x^2, \quad y = x^2 — 2x.
\)
1) \( y = x^2 — 4x \), \( y = x — 4 \)
Точки пересечения:
\( x^2 — 5x + 4 = 0, \quad x_1 = 1, \, x_2 = 4 \)
Площадь:
\( S = \int_{1}^{4} (x^2 — 5x + 4) dx = \left( \frac{x^3}{3} — \frac{5x^2}{2} + 4x \right)_{1}^{4} \)
\( S = 4.5 \)
Ответ: \( S = 4.5 \).
2) \( y = 3 — x^2 \), \( y = 2x \)
Точки пересечения:
\( x^2 + 2x — 3 = 0, \quad x_1 = -3, \, x_2 = 1 \)
Площадь:
\( S = \int_{-3}^{1} (3 — x^2 — 2x) dx = \left( 3x — \frac{x^3}{3} — x^2 \right)_{-3}^{1} \)
\( S = 10 \frac{2}{3} \)
Ответ: \( S = 10 \frac{2}{3} \).
3) \( y = \cos(x) \), \( y = -2\cos(x) \), \( x = -\frac{\pi}{6} \), \( x = \frac{\pi}{2} \)
Площадь:
\( S = \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} 3\cos(x) dx = 3 \left( \sin(x) \right)_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \)
\( S = 4.5 \)
Ответ: \( S = 4.5 \).
4) \( y = 4 — x^2 \), \( y = x^2 — 2x \)
Точки пересечения:
\( x^2 — x — 2 = 0, \quad x_1 = -1, \, x_2 = 2 \)
Площадь:
\( S = \int_{-1}^{2} (4 — 2x^2 + 2x) dx = \left( 4x — \frac{2x^3}{3} + x^2 \right)_{-1}^{2} \)
\( S = 9 \)
Ответ: \( S = 9 \).
1) Для первой фигуры:
Даны уравнения \( y = x^2 — 4x \) и \( y = x — 4 \).
Найдём точки пересечения:
\(
x^2 — 4x = x — 4 \quad \Rightarrow \quad x^2 — 5x + 4 = 0
\)
Вычислим дискриминант:
\(
D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9
\)
Найдём корни:
\(
x_1 = \frac{5 — \sqrt{9}}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = 4
\)
Вычислим площадь фигуры:
\(
S = \int_{1}^{4} \left( (x^2 — 4x) — (x — 4) \right) dx
\)
Упростим подынтегральное выражение:
\(
S = \int_{1}^{4} (x^2 — 5x + 4) dx
\)
Интегрируем:
\(
\int (x^2 — 5x + 4) dx = \frac{x^3}{3} — \frac{5x^2}{2} + 4x
\)
Подставим пределы:
\(
S = \left( \frac{x^3}{3} — \frac{5x^2}{2} + 4x \right)_{1}^{4}
\)
Вычислим:
\(
S = \left( \frac{64}{3} — \frac{80}{2} + 16 \right) — \left( \frac{1}{3} — \frac{5}{2} + 4 \right)
\)
\(
S = \left( \frac{64}{3} — 40 + 16 \right) — \left( \frac{1}{3} + 2.5 — 4 \right)
\)
\(
S = -4.5
\)
Ответ: \( S = 4.5 \).
2) Для второй фигуры:
Даны уравнения \( y = 3 — x^2 \) и \( y = 2x \).
Найдём точки пересечения:
\(
3 — x^2 = 2x \quad \Rightarrow \quad x^2 + 2x — 3 = 0
\)
Вычислим дискриминант:
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16
\)
Найдём корни:
\(
x_1 = \frac{-2 — \sqrt{16}}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = 1
\)
Вычислим площадь фигуры:
\(
S = \int_{-3}^{1} \left( (3 — x^2) — (2x) \right) dx
\)
Упростим подынтегральное выражение:
\(
S = \int_{-3}^{1} (3 — x^2 — 2x) dx
\)
Интегрируем:
\(
\int (3 — x^2 — 2x) dx = 3x — \frac{x^3}{3} — x^2
\)
Подставим пределы:
\(
S = \left( 3x — \frac{x^3}{3} — x^2 \right)_{-3}^{1}
\)
Вычислим:
\(
S = \left( 3(1) — \frac{1^3}{3} — 1^2 \right) — \left( 3(-3) — \frac{(-3)^3}{3} — (-3)^2 \right)
\)
\(
S = (3 — \frac{1}{3} — 1) — (-9 — (-9) — 9)
\)
\(
S = \frac{5}{3} + 9 = \frac{32}{3}
\)
Ответ: \( S = 10 \frac{2}{3} \).
3) Для третьей фигуры:
Даны уравнения \( y = \cos(x) \), \( y = -2\cos(x) \), \( x = -\frac{\pi}{6}, x = \frac{\pi}{2} \).
Вычислим площадь фигуры:
\(
S = \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} (\cos(x) + 2\cos(x)) dx
\)
Упростим подынтегральное выражение:
\(
S = \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} (3\cos(x)) dx
\)
Интегрируем:
\(
S = 3 \cdot (\sin(x))_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}
\)
Подставим пределы:
\(
S = 3 \cdot (\sin(\frac{\pi}{2}) — \sin(-\frac{\pi}{6}))
\)
Вычислим:
\(
S = 3 \cdot (1 + \frac{1}{2}) = 3 \cdot \frac{3}{2} = 4.5
\)
Ответ: \( S = 4.5 \).
4) Для четвёртой фигуры:
Даны уравнения \( y = 4 — x^2 \) и \( y = x^2 — 2x \).
Найдём точки пересечения:
\(
4 — x^2 = x^2 — 2x
\)
Упростим:
\(
2x^2 — 2x — 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 — x — 2 = 0
\)
Вычислим дискриминант:
\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9
\)
Найдём корни:
\(
x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{9}}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2} = 2
\)
Вычислим площадь фигуры:
\(
S = \int_{-1}^{2} \left( (4 — x^2) — (x^2 — 2x) \right) dx
\)
Упростим подынтегральное выражение:
\(
S = \int_{-1}^{2} (4 — 2x^2 + 2x) dx
\)
Интегрируем:
\(
\int (4 — 2x^2 + 2x) dx = 4x — \frac{2x^3}{3} + x^2
\)
Подставим пределы:
\(
S = \left( 4x — \frac{2x^3}{3} + x^2 \right)_{-1}^{2}
\)
Вычислим:
\(
S = \left( 8 — \frac{16}{3} + 4 \right) — \left( -4 + \frac{2}{3} + 1 \right)
\)
\(
S = \frac{20}{3} + \frac{7}{3} = \frac{27}{3} = 9
\)
Ответ: \( S = 9 \).