ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 11.23 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство

\(
\log_{\frac{1}{6}}(1 — x) < \log_{\frac{1}{6}}(2)
\)

.

Решить неравенство:
\(\log_{1}(1 — x) < \log_{12}(6)\)
\(1 — x > 2, \, x < -1\);
Ответ: \((- \infty; -1)\).

Рассмотрим неравенство:

\(
\log_{\frac{1}{6}}(1 — x) < \log_{\frac{1}{6}}(2)
\)

Решение:

1. Логарифмическая функция при основании \( \frac{1}{6} < 1 \) является убывающей. Это означает, что знак неравенства меняется при переходе от логарифмической функции к аргументам. Следовательно, неравенство переписывается как:

\(
1 — x > 2
\)

2. Решим полученное линейное неравенство:

\(
1 — x > 2 \quad \Rightarrow \quad -x > 1 \quad \Rightarrow \quad x < -1
\)

3. Учитываем область определения логарифмической функции \( \log_{\frac{1}{6}}(1 — x) \). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

\(
1 — x > 0 \quad \Rightarrow \quad x < 1
\)

4. Совместим оба условия:

\(
x < -1 \quad \text{и} \quad x < 1
\)

Основным ограничением является \( x < -1 \), так как оно уже автоматически удовлетворяет \( x < 1 \).

Итак, решением данного неравенства является:

\(
x \in (-\infty; -1)
\)

Ответ:

\(
(-\infty; -1)
\)