ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 11.24 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Упростите выражение

\(
\frac{\sin(5\pi) — \sin(\pi)}{\cos(3\pi)}.
\)

Упростим выражение:

\(
\frac{\sin 5a — \sin a}{\cos 3a}
\)

Используем формулу разности синусов:

\(
\sin x — \sin y = 2 \cdot \sin\left(\frac{x — y}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{x + y}{2}\right)
\)

Подставляем \(x = 5a\) и \(y = a\):

\(
\sin 5a — \sin a = 2 \cdot \sin(2a) \cdot \cos(3a)
\)

Теперь заменяем в исходном выражении:

\(
\frac{\sin 5a — \sin a}{\cos 3a} = \frac{2 \cdot \sin(2a) \cdot \cos(3a)}{\cos 3a}
\)

Сокращаем на \(\cos 3a\) (при условии, что \(\cos 3a \neq 0\)):

\(
\frac{\sin 5a — \sin a}{\cos 3a} = 2 \sin 2a
\)

Итог:

\(
\frac{\sin 5a — \sin a}{\cos 3a} = 2 \sin 2a
\)

Упростим выражение:

\(
\frac{\sin 5a — \sin a}{\cos 3a}
\)

Для упрощения воспользуемся формулой разности синусов:

\(
\sin x — \sin y = 2 \cdot \sin\left(\frac{x — y}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{x + y}{2}\right)
\)

В этой формуле \(x\) и \(y\) — аргументы синусов. Подставим \(x = 5a\) и \(y = a\) в данную формулу:

\(
\sin 5a — \sin a = 2 \cdot \sin\left(\frac{5a — a}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{5a + a}{2}\right)
\)

Теперь вычислим выражения внутри скобок:

1. Найдем разность аргументов, деленную на два:
\(
\frac{5a — a}{2} = \frac{4a}{2} = 2a
\)

2. Найдем сумму аргументов, деленную на два:
\(
\frac{5a + a}{2} = \frac{6a}{2} = 3a
\)

Таким образом, выражение для \(\sin 5a — \sin a\) преобразуется в:

\(
\sin 5a — \sin a = 2 \cdot \sin(2a) \cdot \cos(3a)
\)

Теперь подставим это выражение в исходную дробь:

\(
\frac{\sin 5a — \sin a}{\cos 3a} = \frac{2 \cdot \sin(2a) \cdot \cos(3a)}{\cos 3a}
\)

В числителе и знаменателе присутствует множитель \(\cos 3a\). Если \(\cos 3a \neq 0\), то можно сократить дробь:

\(
\frac{2 \cdot \sin(2a) \cdot \cos(3a)}{\cos 3a} = 2 \cdot \sin(2a)
\)

Таким образом, итоговое выражение:

\(
\frac{\sin 5a — \sin a}{\cos 3a} = 2 \sin(2a)
\)