Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 11.24 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Упростите выражение
\(
\frac{\sin(5\pi) — \sin(\pi)}{\cos(3\pi)}.
\)
Упростим выражение:
\(
\frac{\sin 5a — \sin a}{\cos 3a}
\)
Используем формулу разности синусов:
\(
\sin x — \sin y = 2 \cdot \sin\left(\frac{x — y}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{x + y}{2}\right)
\)
Подставляем \(x = 5a\) и \(y = a\):
\(
\sin 5a — \sin a = 2 \cdot \sin(2a) \cdot \cos(3a)
\)
Теперь заменяем в исходном выражении:
\(
\frac{\sin 5a — \sin a}{\cos 3a} = \frac{2 \cdot \sin(2a) \cdot \cos(3a)}{\cos 3a}
\)
Сокращаем на \(\cos 3a\) (при условии, что \(\cos 3a \neq 0\)):
\(
\frac{\sin 5a — \sin a}{\cos 3a} = 2 \sin 2a
\)
Итог:
\(
\frac{\sin 5a — \sin a}{\cos 3a} = 2 \sin 2a
\)
Упростим выражение:
\(
\frac{\sin 5a — \sin a}{\cos 3a}
\)
Для упрощения воспользуемся формулой разности синусов:
\(
\sin x — \sin y = 2 \cdot \sin\left(\frac{x — y}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{x + y}{2}\right)
\)
В этой формуле \(x\) и \(y\) — аргументы синусов. Подставим \(x = 5a\) и \(y = a\) в данную формулу:
\(
\sin 5a — \sin a = 2 \cdot \sin\left(\frac{5a — a}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{5a + a}{2}\right)
\)
Теперь вычислим выражения внутри скобок:
1. Найдем разность аргументов, деленную на два:
\(
\frac{5a — a}{2} = \frac{4a}{2} = 2a
\)
2. Найдем сумму аргументов, деленную на два:
\(
\frac{5a + a}{2} = \frac{6a}{2} = 3a
\)
Таким образом, выражение для \(\sin 5a — \sin a\) преобразуется в:
\(
\sin 5a — \sin a = 2 \cdot \sin(2a) \cdot \cos(3a)
\)
Теперь подставим это выражение в исходную дробь:
\(
\frac{\sin 5a — \sin a}{\cos 3a} = \frac{2 \cdot \sin(2a) \cdot \cos(3a)}{\cos 3a}
\)
В числителе и знаменателе присутствует множитель \(\cos 3a\). Если \(\cos 3a \neq 0\), то можно сократить дробь:
\(
\frac{2 \cdot \sin(2a) \cdot \cos(3a)}{\cos 3a} = 2 \cdot \sin(2a)
\)
Таким образом, итоговое выражение:
\(
\frac{\sin 5a — \sin a}{\cos 3a} = 2 \sin(2a)
\)