ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 11.3 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \(\int_{5}^{7} x \, dx = \left(\frac{x^2}{2}\right) \bigg|_{5}^{7} = \frac{49}{2} — \frac{25}{2} = 12\)

2) \(\int_{3}^{8} 2 \, dx = (2x) \bigg|_{3}^{8} = 16 — 6 = 10\)

3) \(\int_{-3}^{0} x^2 \, dx = \left(\frac{x^3}{3}\right) \bigg|_{-3}^{0} = 0 — \frac{27}{3} = 9\)

4) \(\int_{-1}^{2} x^4 \, dx = \left(\frac{x^5}{5}\right) \bigg|_{-1}^{2} = \frac{32}{5} + \frac{1}{5} = \frac{33}{5} = 6.6\)

5) \(\int_{0}^{\pi/3} \sin x \, dx = (-\cos x) \bigg|_{0}^{\pi/3} = -\frac{1}{2} + 1 = 0.5\)

6) \(\int_{\pi/4}^{\pi/3} \frac{dx}{\cos^2 x} = (\tan x) \bigg|_{\pi/4}^{\pi/3} = \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) — \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{3} — 1\)

7) \(\int_{16}^{100} \frac{dx}{\sqrt{x}} = (2\sqrt{x}) \bigg|_{16}^{100} = 20 — 8 = 12\)

8) \(\int_{2}^{6} \frac{e^{3x}}{x} \, dx = (\ln |x|) \bigg|_{2}^{6} = \ln e^3 — \ln e^2 = 3 — 2 = 1\)

9) \(\int_{1}^{10} \frac{dx}{x^2} = (x^{-1}) \bigg|_{1}^{10} = -\frac{1}{x} \bigg|_{1}^{10} = -1 + 0.1 = 0.9\)

10) \(\int_{-2}^{3} 3x^3 \, dx = \left(\frac{3x^4}{4}\right) \bigg|_{-2}^{3} = \frac{243}{4} — (-12) = \frac{243}{4} + 12\)

11) \(\int_{1}^{8} \sqrt{x} \, dx = \left(\frac{4x^{3/2}}{3}\right) \bigg|_{1}^{8} = \frac{4(16)}{3} — \frac{4(1)}{3} = \frac{60}{3} = 20\)

12) \(\int_{-4}^{-2} (2x + 4) dx = (x^2 + 4x) \bigg|_{-4}^{-2} = (4 — 8) — (16 — 16) = -4\)

13) \(\int_{0}^{6} (3x^2 — x) dx = (x^3 — \frac{x^2}{2}) \bigg|_{0}^{6} = (216 — 18) — (0 — 0) = 198\)

14) \(\int_{0}^{\pi/2} (4\sin x + 2\cos x) dx = (-4\cos x + 2\sin x) \bigg|_{0}^{\pi/2} = (0 + 2) — (-4 + 0) = 6\)

1) \(\int_{5}^{7} x \, dx\)
Найдём первообразную для функции \(x\):
\(
\int x \, dx = \frac{x^2}{2}
\)
Подставим пределы интегрирования:
\(
\frac{x^2}{2} \Big|_{5}^{7} = \frac{7^2}{2} — \frac{5^2}{2} = \frac{49}{2} — \frac{25}{2} = \frac{24}{2} = 12
\)

2) \(\int_{3}^{8} 2 \, dx\)
Функция \(2\) является константой. Её первообразная:
\(
\int 2 \, dx = 2x
\)
Подставим пределы интегрирования:
\(
2x \Big|_{3}^{8} = 2 \cdot 8 — 2 \cdot 3 = 16 — 6 = 10
\)

3) \(\int_{-3}^{0} x^2 \, dx\)
Найдём первообразную для функции \(x^2\):
\(
\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}
\)
Подставим пределы интегрирования:
\(
\frac{x^3}{3} \Big|_{-3}^{0} = \frac{0^3}{3} — \frac{(-3)^3}{3} = 0 — \frac{-27}{3} = 0 + 9 = 9
\)

4) \(\int_{-1}^{2} x^4 \, dx\)
Найдём первообразную для функции \(x^4\):
\(
\int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5}
\)
Подставим пределы интегрирования:
\(
\frac{x^5}{5} \Big|_{-1}^{2} = \frac{2^5}{5} — \frac{(-1)^5}{5} = \frac{32}{5} — \left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{32}{5} + \frac{1}{5} = \frac{33}{5} = 6,6
\)

5) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin(x) \, dx\)
Найдём первообразную для функции \(\sin(x)\):
\(
\int \sin(x) \, dx = -\cos(x)
\)
Подставим пределы интегрирования:
\(
-\cos(x) \Big|_{0}^{\frac{\pi}{3}} = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos(0)
\)
Значения косинуса:
\(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\), \(\cos(0) = 1\).
Подставим:
\(
-\frac{1}{2} + 1 = 0,5
\)

6) \(\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{\cos^2(x)}\)
Функция \(\frac{1}{\cos^2(x)}\) является производной для \(\tan(x)\). Поэтому:
\(
\int \frac{dx}{\cos^2(x)} = \tan(x)
\)
Подставим пределы интегрирования:
\(
\tan(x) \Big|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} = \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) — \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)
\)
Значения тангенса:
\(\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}\), \(\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1\).
Подставим:
\(
\sqrt{3} — 1
\)

7) \(\int_{16}^{100} \frac{dx}{\sqrt{x}}\)
Функция \(\frac{1}{\sqrt{x}}\) является производной для \(2\sqrt{x}\). Поэтому:
\(
\int \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x}
\)
Подставим пределы интегрирования:
\(
2\sqrt{x} \Big|_{16}^{100} = 2\sqrt{100} — 2\sqrt{16} = 2 \cdot 10 — 2 \cdot 4 = 20 — 8 = 12
\)

8) \(\int_{e^2}^{e^3} \frac{dx}{x}\)
Функция \(\frac{1}{x}\) является производной для \(\ln|x|\). Поэтому:
\(
\int \frac{dx}{x} = \ln|x|
\)
Подставим пределы интегрирования:
\(
\ln|x| \Big|_{e^2}^{e^3} = \ln(e^3) — \ln(e^2)
\)
Свойства логарифма: \(\ln(e^n) = n\).
Подставим:
\(
3 — 2 = 1
\)

9) \(\int_{1}^{10} \frac{dx}{x^2}\)
Функция \(\frac{1}{x^2}\) является производной для \(-\frac{1}{x}\). Поэтому:
\(
\int \frac{dx}{x^2} = -\frac{1}{x}
\)
Подставим пределы интегрирования:
\(
-\frac{1}{x} \Big|_{1}^{10} = -\frac{1}{10} + \frac{1}{1}
\)
Вычислим:
\(
-\frac{1}{10} + 1 = 0,9
\)

10) \(\int_{-2}^{3} 3^x \, dx\)
Функция \(3^x\) является производной для \(\frac{3^x}{\ln(3)}\). Поэтому:
\(
\int 3^x \, dx = \frac{3^x}{\ln(3)}
\)
Подставим пределы интегрирования:
\(
\frac{3^x}{\ln(3)} \Big|_{-2}^{3} = \frac{3^3}{\ln(3)} — \frac{3^{-2}}{\ln(3)}
\)
Вычислим:
\(
\frac{27}{\ln(3)} — \frac{1}{9\ln(3)} = \frac{242}{9\ln(3)}
\)

11) \(\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} \, dx\)
Функция \(\sqrt[3]{x}\) является производной для \(\frac{4}{3}x^{\frac{4}{3}}\). Поэтому:
\(
\int \sqrt[3]{x} \, dx = \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}}
\)
Подставим пределы интегрирования:
\(
\frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} \Big|_{1}^{8} = \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}} — \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}}
\)
Вычислим:
\(
\frac{3}{4} \cdot 16 — \frac{3}{4} = \frac{48}{4} — \frac{3}{4} = \frac{45}{4} = 11,25
\)

12) \(\int_{-4}^{-2} (2x + 4) \, dx\)
Разделим функцию на части:
\(
\int (2x + 4) \, dx = \int 2x \, dx + \int 4 \, dx
\)
Первообразная для \(2x\):
\(
\int 2x \, dx = x^2
\)
Первообразная для \(4\):
\(
\int 4 \, dx = 4x
\)
Объединяем:
\(
x^2 + 4x
\)
Подставим пределы интегрирования:
\(
(x^2 + 4x) \Big|_{-4}^{-2} = \left((-2)^2 + 4(-2)\right) — \left((-4)^2 + 4(-4)\right)
\)
Вычислим:
\(
(4 — 8) — (16 — 16) = -4
\)

13) \(\int_{0}^{6} (3x^2 — x) \, dx\)
Разделим функцию на части:
\(
\int (3x^2 — x) \, dx = \int 3x^2 \, dx — \int x \, dx
\)
Первообразная для \(3x^2\):
\(
\int 3x^2 \, dx = x^3
\)
Первообразная для \(x\):
\(
\int x \, dx = \frac{x^2}{2}
\)
Объединяем:
\(
x^3 — \frac{x^2}{2}
\)
Подставим пределы интегрирования:
\(
\left(x^3 — \frac{x^2}{2}\right) \Big|_{0}^{6} = \left(6^3 — \frac{6^2}{2}\right) — \left(0^3 — \frac{0^2}{2}\right)
\)
Вычислим:
\(
216 — \frac{36}{2} = 216 — 18 = 198
\)

14) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (4 \sin(x) + 2 \cos(x)) \, dx\)
Разделим функцию на части:
\(
\int (4 \sin(x) + 2 \cos(x)) \, dx = \int 4 \sin(x) \, dx + \int 2 \cos(x) \, dx
\)
Первообразная для \(4 \sin(x)\):
\(
\int 4 \sin(x) \, dx = -4 \cos(x)
\)
Первообразная для \(2 \cos(x)\):
\(
\int 2 \cos(x) \, dx = 2 \sin(x)
\)
Объединяем:
\(
-4 \cos(x) + 2 \sin(x)
\)
Подставим пределы интегрирования:
\(
(-4 \cos(x) + 2 \sin(x)) \Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \left(-4 \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + 2 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) — \left(-4 \cos(0) + 2 \sin(0)\right)
\)
Значения тригонометрических функций:
\(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0\), \(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1\), \(\cos(0) = 1\), \(\sin(0) = 0\).
Подставим:
\(
(-4 \cdot 0 + 2 \cdot 1) — (-4 \cdot 1 + 2 \cdot 0) = 2 — (-4) = 2 + 4 = 6
\)