ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 11.4 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \(\int_{-4}^{-2} 2 \, dx = 2x \big|_{-4}^{-2} = -4 + 8 = 4;\)

2) \(\int_{1}^{2} x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} \big|_{1}^{2} = \frac{16}{4} — \frac{1}{4} = \frac{15}{4} = 3,75;\)

3) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x) \, dx = \sin(x) \big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin\frac{\pi}{2} — \sin 0 = 1;\)

4) \(\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin^2(x)} = -\cot(x) \big|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = -\cot\frac{\pi}{2} + \cot\frac{\pi}{4} = 1;\)

5) \(\int_{1}^{3} \frac{dx}{x^4} = x^{-3} \big|_{1}^{3} = -\frac{1}{3x^3} \big|_{1}^{3} = -\frac{1}{3 \cdot 27} + \frac{1}{3} = \frac{26}{81};\)

6) \(\int_{0}^{4} e^x \, dx = e^x \big|_{0}^{4} = e^4 — e^0 = e^4 — 1;\)

7) \(\int_{1}^{e} \frac{dx}{x} = \ln|x| \big|_{1}^{e} = \ln e — \ln 1 = 1 — 0 = 1;\)

8) \(\int_{4}^{9} \sqrt{x} \, dx = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \big|_{4}^{9} = \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} — \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} \cdot 27 — \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{38}{3};\)

9) \(\int_{-1}^{1} (1 — 5x^4) \, dx = \left(x — x^5\right) \big|_{-1}^{1} = 1 — 1 — (-1 + 1) = 0;\)

1) Рассмотрим интеграл \(\int_{-4}^{-2} 2 \, dx\).
Функция \(2\) — это константа, поэтому её первообразная равна \(2x\). Подставляем пределы интегрирования:

\(
\int_{-4}^{-2} 2 \, dx = 2x \big|_{-4}^{-2} = 2(-2) — 2(-4)
\)

Выполняем вычисления:

\(
2(-2) = -4, \quad 2(-4) = -8, \quad -4 — (-8) = -4 + 8 = 4
\)

Ответ: \(4\).

2) Рассмотрим интеграл \(\int_{1}^{2} x^3 \, dx\).
Первообразная функции \(x^3\) равна \(\frac{x^4}{4}\). Подставляем пределы интегрирования:

\(
\int_{1}^{2} x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} \big|_{1}^{2} = \frac{2^4}{4} — \frac{1^4}{4}
\)

Считаем значения:

\(
\frac{2^4}{4} = \frac{16}{4} = 4, \quad \frac{1^4}{4} = \frac{1}{4}, \quad 4 — \frac{1}{4} = \frac{15}{4} = 3.75
\)

Ответ: \(3.75\).

3) Рассмотрим интеграл \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x) \, dx\).
Первообразная функции \(\cos(x)\) равна \(\sin(x)\). Подставляем пределы интегрирования:

\(
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x) \, dx = \sin(x) \big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) — \sin(0)
\)

Считаем значения:

\(
\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1, \quad \sin(0) = 0, \quad 1 — 0 = 1
\)

Ответ: \(1\).

4) Рассмотрим интеграл \(\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin^2(x)}\).
Функция \(\frac{1}{\sin^2(x)}\) равна \(\csc^2(x)\), а её первообразная — это \(-\cot(x)\). Подставляем пределы интегрирования:

\(
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin^2(x)} = -\cot(x) \big|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = -\cot\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cot\left(\frac{\pi}{4}\right)
\)

Считаем значения:

\(
\cot\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0, \quad \cot\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1, \quad -0 + 1 = 1
\)

Ответ: \(1\).

5) Рассмотрим интеграл \(\int_{1}^{3} \frac{dx}{x^4}\).
Функцию \(\frac{1}{x^4}\) можно переписать как \(x^{-4}\). Её первообразная равна \(-\frac{1}{3x^3}\). Подставляем пределы интегрирования:

\(
\int_{1}^{3} \frac{dx}{x^4} = -\frac{1}{3x^3} \big|_{1}^{3} = -\frac{1}{3(3)^3} + \frac{1}{3(1)^3}
\)

Считаем значения:

\(
3^3 = 27, \quad -\frac{1}{3 \cdot 27} = -\frac{1}{81}, \quad \frac{1}{3 \cdot 1} = \frac{1}{3}, \quad -\frac{1}{81} + \frac{1}{3} = \frac{-1 + 27}{81} = \frac{26}{81}
\)

Ответ: \(\frac{26}{81}\).

6) Рассмотрим интеграл \(\int_{0}^{4} e^x \, dx\).
Первообразная функции \(e^x\) равна \(e^x\). Подставляем пределы интегрирования:

\(
\int_{0}^{4} e^x \, dx = e^x \big|_{0}^{4} = e^4 — e^0
\)

Считаем значения:

\(
e^0 = 1, \quad e^4 — 1
\)

Ответ: \(e^4 — 1\).

7) Рассмотрим интеграл \(\int_{1}^{e} \frac{dx}{x}\).
Первообразная функции \(\frac{1}{x}\) равна \(\ln|x|\). Подставляем пределы интегрирования:

\(
\int_{1}^{e} \frac{dx}{x} = \ln|x| \big|_{1}^{e} = \ln(e) — \ln(1)
\)

Считаем значения:

\(
\ln(e) = 1, \quad \ln(1) = 0, \quad 1 — 0 = 1
\)

Ответ: \(1\).

8) Рассмотрим интеграл \(\int_{4}^{9} \sqrt{x} \, dx\).
Функцию \(\sqrt{x}\) можно переписать как \(x^{\frac{1}{2}}\). Её первообразная равна \(\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\). Подставляем пределы интегрирования:

\(
\int_{4}^{9} \sqrt{x} \, dx = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \big|_{4}^{9} = \frac{2}{3}(9^{\frac{3}{2}}) — \frac{2}{3}(4^{\frac{3}{2}})
\)

Считаем значения:

\(
9^{\frac{3}{2}} = (9^{\frac{1}{2}})^3 = 3^3 = 27, \quad 4^{\frac{3}{2}} = (4^{\frac{1}{2}})^3 = 2^3 = 8
\)

\(
\frac{2}{3}(27) = \frac{54}{3} = 18, \quad \frac{2}{3}(8) = \frac{16}{3}, \quad 18 — \frac{16}{3} = \frac{54}{3} — \frac{16}{3} = \frac{38}{3}
\)

Ответ: \(\frac{38}{3}\).

9) Рассмотрим интеграл \(\int_{-1}^{1} (1 — 5x^4) \, dx\).
Первообразная функции \(1 — 5x^4\) равна \(x — x^5\). Подставляем пределы интегрирования:

\(
\int_{-1}^{1} (1 — 5x^4) \, dx = \left(x — x^5\right) \big|_{-1}^{1} = \left(1 — 1^5\right) — \left((-1) — (-1)^5\right)
\)

Считаем значения:

\(
1 — 1^5 = 1 — 1 = 0, \quad (-1) — (-1)^5 = -1 — (-1) = -1 + 1 = 0
\)

\(
0 — 0 = 0
\)

Ответ: \(0\).