Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 11.5 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
1. \( y = x^2 + 1, \, y = 0, \, x = 0, \, x = 2 \)
\(
S = \int_0^2 (x^2 + 1) \, dx = \left( \frac{x^3}{3} + x \right) \bigg|_0^2
\)
\(
S = \left( \frac{8}{3} + 2 \right) — (0 + 0) = \frac{14}{3}
\)
Ответ: \( 4 \frac{2}{3} \).
2. \( y = \cos(x), \, y = 0, \, x = -\frac{\pi}{2}, \, x = \frac{\pi}{2} \)
\(
S = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x) \, dx = \sin(x) \bigg|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}
\)
\(
S = (1 — (-1)) = 2
\)
Ответ: \( 2 \).
3. \( y = -x^3, \, y = 0, \, x = -2, \, x = 0 \)
\(
S = \int_{-2}^0 (-x^3) \, dx = -\frac{x^4}{4} \bigg|_{-2}^0
\)
\(
S = (0 — (-4)) = 4
\)
Ответ: \( 4 \).
4. \( y = 3 — 2x — x^2, \, y = 0, \, x = -2, \, x = 0 \)
\(
S = \int_{-2}^0 (3 — 2x — x^2) \, dx = \left( 3x — x^2 — \frac{x^3}{3} \right) \bigg|_{-2}^0
\)
\(
S = (0 — 0 — 0) — (-6 + 4 — \frac{8}{3})
\)
\(
S = 10 — \frac{8}{3} = \frac{30}{3} — \frac{8}{3} = \frac{22}{3}
\)
Ответ: \( 7 \frac{1}{3} \).
5. \( y = \frac{1}{2x}, \, y = 0, \, x = \frac{1}{4}, \, x = 2 \)
\(
S = \int_{\frac{1}{4}}^{2} \frac{1}{2x} \, dx = \frac{1}{2} \ln\left|x\right| \bigg|_{\frac{1}{4}}^{2}
\)
\(
S = \frac{1}{2} \ln(2) — \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2} \ln(8)
\)
Ответ: \( \frac{1}{2} \ln(8) \).
6. \( y = 2x — x^2, \, y = 0 \)
Точки пересечения:
\(
2x — x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x(x — 2) = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 0, \, x_2 = 2
\)
Площадь фигуры:
\(
S = \int_{0}^{2} (2x — x^2) \, dx = (x^2 — \frac{x^3}{3})\bigg|_{0}^{2}
\)
\(
S = (4 — \frac{8}{3}) — (0 — 0) = \frac{4}{3}
\)
Ответ: \( \frac{4}{3} \).
7. \( y = \sin(2x), \, y = 0, \, x = \frac{\pi}{12}, \, x = \frac{\pi}{4} \)
\(
S = \int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{4}} \sin(2x) \, dx = \left(-\frac{1}{2} \cos(2x)\right)\bigg|_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{4}}
\)
\(
S = \left(-\frac{1}{2} \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + \frac{1}{2} \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) = \frac{\sqrt{3}}{4}
\)
Ответ: \( \frac{\sqrt{3}}{4} \).
8. \( y = \frac{1}{(x-1)^2}, \, y = 0, \, x = -1, \, x = 0 \)
\(
S = \int_{-1}^{0} \frac{dx}{(x-1)^2} = \left(-\frac{1}{x-1}\right)\bigg|_{-1}^{0}
\)
\(
S = \frac{1}{(1-0)} — \frac{1}{(-1-0)} = 1 + 1 = 2
\)
Ответ: \( 2 \).
9. \( y = e^x + 1, \, x = 0, \, x = -2 \)
\(
S = \int_{-2}^{0} (e^x + 1) \, dx = \left(e^x + x\right)\bigg|_{-2}^{0}
\)
\(
S = e^0 — e^{-2} + 2 = 1 — \frac{1}{e^2} + 2
\)
\(
S = 3 — \frac{1}{e^2} = \frac{3e^2 — 1}{e^2}
\)
Ответ: \( \frac{3e^2 — 1}{e^2} \).
10. \( y = \sqrt{5 — x}, \, x = -4 \)
Точка пересечения:
\(
\sqrt{5 — x} = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 5
\)
Площадь фигуры:
\(
S = \int_{-4}^{5} \sqrt{5 — x} \, dx = -\frac{2}{3} \sqrt{(5 — x)^3} \bigg|_{-4}^{5}
\)
\(
S = -\frac{2}{3} \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 27 = 0 + 2 \cdot 9 = 18
\)
Ответ: \( 18 \).
1) \( y = x^2 + 1, \, y = 0, \, x = 0, \, x = 2 \)
Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривой \( y = x^2 + 1 \), осью \( x \) и прямыми \( x = 0 \) и \( x = 2 \), необходимо вычислить определённый интеграл:
\(
S = \int_{0}^{2} (x^2 + 1) \, dx
\)
Вычисляя интеграл, получаем:
\(
S = \left( \frac{x^3}{3} + x \right)_{0}^{2} = \left( \frac{8}{3} + 2 \right) — (0 + 0) = \frac{14}{3}
\)
Ответ: \( 4 \frac{2}{3} \).
2) \( y = \cos(x), \, y = 0, \, x = -\frac{\pi}{2}, \, x = \frac{\pi}{2} \)
Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривой \( y = \cos(x) \), осью \( x \) и прямыми \( x = -\frac{\pi}{2} \) и \( x = \frac{\pi}{2} \), необходимо вычислить определённый интеграл:
\(
S = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x) \, dx
\)
Вычисляя интеграл, получаем:
\(
S = \left( \sin(x) \right)_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) — \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)
\)
Подставляем значения:
\(
S = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1.5
\)
Ответ: \( 1.5 \).
3) \( y = -x^3, \, y = 0, \, x = -2, \, x = 0 \)
Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривой \( y = -x^3 \), осью \( x \) и прямыми \( x = -2 \) и \( x = 0 \), необходимо вычислить определённый интеграл:
\(
S = \int_{-2}^{0} (-x^3) \, dx
\)
Вычисляя интеграл, получаем:
\(
S = \left( -\frac{x^4}{4} \right)_{-2}^{0} = 0 — \left(-\frac{16}{4}\right) = 4
\)
Ответ: \( 4 \).
4) \( y = 3 — 2x — x^2, \, y = 0, \, x = -2, \, x = 0 \)
Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривой \( y = 3 — 2x — x^2 \), осью \( x \) и прямыми \( x = -2 \) и \( x = 0 \), необходимо вычислить определённый интеграл:
\(
S = \int_{-2}^{0} (3 — 2x — x^2) \, dx
\)
Вычисляя интеграл, получаем:
\(
S = \left( 3x — x^2 — \frac{x^3}{3} \right)_{-2}^{0} = (0 — 0 — 0) — \left( 3(-2) — (-2)^2 — \frac{(-2)^3}{3} \right) = 10 — \frac{8}{3} = \frac{22}{3}
\)
Ответ: \( 7 \frac{1}{3} \).
5) \( y = \frac{1}{2x}, \, y = 0, \, x = \frac{1}{4}, \, x = 2 \)
Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривой \( y = \frac{1}{2x} \), осью \( x \) и прямыми \( x = \frac{1}{4} \) и \( x = 2 \), необходимо вычислить определённый интеграл:
\(
S = \int_{\frac{1}{4}}^{2} \frac{1}{2x} \, dx
\)
Вычисляя интеграл, получаем:
\(
S = \frac{1}{2} \ln\left|x\right| \bigg|_{\frac{1}{4}}^{2} = \frac{1}{2} \ln(2) — \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2} \ln(8)
\)
Ответ: \( \frac{1}{2} \ln(8) \).
6) \( y = 2x — x^2, \, y = 0 \)
Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривой \( y = 2x — x^2 \) и осью \( x \), необходимо найти точки пересечения кривой с осью \( x \), а затем вычислить определённый интеграл:
Точки пересечения:
\(
2x — x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x(x — 2) = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 0, \, x_2 = 2
\)
Площадь фигуры:
\(
S = \int_{0}^{2} (2x — x^2) \, dx = \left( x^2 — \frac{x^3}{3} \right)_{0}^{2} = \left( 4 — \frac{8}{3} \right) — (0 — 0) = \frac{4}{3}
\)
Ответ: \( \frac{4}{3} \).
7) \( y = \sin(2x), \, y = 0, \, x = \frac{\pi}{12}, \, x = \frac{\pi}{4} \)
Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривой \( y = \sin(2x) \), осью \( x \) и прямыми \( x = \frac{\pi}{12} \) и \( x = \frac{\pi}{4} \), необходимо вычислить определённый интеграл:
\(
S = \int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{4}} \sin(2x) \, dx
\)
Вычисляя интеграл, получаем:
\(
S = \left( -\frac{1}{2} \cos(2x) \right)_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{4}} = \left( -\frac{1}{2} \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + \frac{1}{2} \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \right) = \frac{\sqrt{3}}{4}
\)
Ответ: \( \frac{\sqrt{3}}{4} \).
8) \( y = \frac{1}{(x-1)^2}, \, y = 0, \, x = -1, \, x = 0 \)
Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривой \( y = \frac{1}{(x-1)^2} \), осью \( x \) и прямыми \( x = -1 \) и \( x = 0 \), необходимо вычислить определённый интеграл:
\(
S = \int_{-1}^{0} \frac{dx}{(x-1)^2}
\)
Вычисляя интеграл, получаем:
\(
S = \left( -\frac{1}{x-1} \right)_{-1}^{0} = \frac{1}{1-0} — \frac{1}{-1-0} = 1 + 1 = 2
\)
Ответ: \( 2 \).
9) \( y = e^x + 1, \, x = 0, \, x = -2 \)
Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривой \( y = e^x + 1 \), осью \( x \) и прямыми \( x = -2 \) и \( x = 0 \), необходимо вычислить определённый интеграл:
\(
S = \int_{-2}^{0} (e^x + 1) \, dx
\)
Вычисляя интеграл, получаем:
\(
S = \left( e^x + x \right)_{-2}^{0} = e^0 — e^{-2} + 2 = 1 — \frac{1}{e^2} + 2
\)
Упрощая выражение, получаем:
\(
S = 3 — \frac{1}{e^2} = \frac{3e^2 — 1}{e^2}
\)
Ответ: \( \frac{3e^2 — 1}{e^2} \).
10) \( y = \sqrt{5 — x}, \, x = -4 \)
Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривой \( y = \sqrt{5 — x} \) и осью \( x \), необходимо найти точку пересечения кривой с осью \( x \), а затем вычислить определённый интеграл:
Точка пересечения:
\(
\sqrt{5 — x} = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 5
\)
Площадь фигуры:
\(
S = \int_{-4}^{5} \sqrt{5 — x} \, dx = \left( -\frac{2}{3} \sqrt{(5 — x)^3} \right)_{-4}^{5}
\)
Вычисляя интеграл, получаем:
\(
S = -\frac{2}{3} \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 27 = 0 + 2 \cdot 9 = 18
\)
Ответ: \( 18 \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.