ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 11.6 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Фигуры равновеликие:

1) \( y = \frac{6}{x}, \, a = 1, \, b = 2; \)
\(
S = \int_{1}^{2} \frac{6}{x} \, dx = 6 \ln|x| \big|_{1}^{2};
\)
\(
S = 6 \ln 2 — 6 \ln 1 = 6 \ln 2;
\)

2) \( y = \frac{6}{x}, \, a = 3, \, b = 6; \)
\(
S = \int_{3}^{6} \frac{6}{x} \, dx = 6 \ln|x| \big|_{3}^{6};
\)
\(
S = 6 \ln 6 — 6 \ln 3 = 6 \ln 2;
\)

Что и требовалось доказать.

Фигуры равновеликие:

1) Рассмотрим функцию \( y = \frac{6}{x} \), где \( a = 1 \), \( b = 2 \).
Найдем площадь \( S \) под графиком функции на интервале \([1; 2]\):
\(
S = \int_{1}^{2} \frac{6}{x} \, dx = 6 \int_{1}^{2} \frac{1}{x} \, dx.
\)
Интеграл от функции \(\frac{1}{x}\) равен натуральному логарифму:
\(
S = 6 \ln|x| \big|_{1}^{2}.
\)
Теперь подставим пределы интегрирования:
\(
S = 6 \ln 2 — 6 \ln 1.
\)
Так как \(\ln 1 = 0\), то:
\(
S = 6 \ln 2.
\)

2) Рассмотрим ту же функцию \( y = \frac{6}{x} \), но на интервале \([3; 6]\), где \( a = 3 \), \( b = 6 \).
Найдем площадь \( S \) под графиком функции на этом интервале:
\(
S = \int_{3}^{6} \frac{6}{x} \, dx = 6 \int_{3}^{6} \frac{1}{x} \, dx.
\)
Интеграл от функции \(\frac{1}{x}\) снова равен натуральному логарифму:
\(
S = 6 \ln|x| \big|_{3}^{6}.
\)
Теперь подставим пределы интегрирования:
\(
S = 6 \ln 6 — 6 \ln 3.
\)
Используем свойство логарифмов: \(\ln 6 — \ln 3 = \ln \frac{6}{3} = \ln 2\). Тогда:
\(
S = 6 \ln 2.
\)