ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 11.8 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1)
\(
\int_1^3 (4x^3 — 4x + 3)dx = x^4 — 2x^2 + 3x \bigg|_1^3 = (81 — 18 + 9) — (1 — 2 + 3) =
\)
\(
= 72 — 2 = 70;
\)

2)
\(
\int_{\pi/2}^{3\pi/2} \cos\left(\frac{x}{3}\right)dx = 3 \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 3 \sin(\pi) — 3 \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = 3 \cdot (1 — \frac{1}{2}) =
\)
\(
= 3 \cdot 0.5 = 1.5;
\)

3)
\(
\int_{\pi/6}^{3\pi/6} \frac{3dx}{\sin^2(2x)} = -\frac{3}{2} \cot(2x)^3 \bigg|_{\pi/6}^{3\pi/6} = -\frac{3}{2} \left(\cot\left(\frac{2\pi}{3}\right) — \cot\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) =
\)
\(
-\frac{3}{2} \left(\frac{\sqrt{3}}{3} — \sqrt{3}\right) = \sqrt{3};
\)

4)
\(
\int_{-2}^1 (x — 3)^2dx = \left(\frac{(x — 3)^3}{3}\right)_{-2}^1 = \left(\frac{8}{3} — \frac{125}{3}\right) = 39;
\)

5)
\(
\int_1^5 (5x — 3)^5dx = \frac{1}{5}(5x — 3)^6 \bigg|_1^5 = \frac{64}{30} — \frac{64}{30} = 0;
\)

6)
\(
\int_2^6 \frac{dx}{\sqrt{3x — 2}} = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot \sqrt{3 \cdot 4 — 2} = \frac{4}{3}.
\)

7)
\(
\int_{-1}^{1} \frac{dx}{3 — 2x} = -\frac{1}{2} \ln|3 — 2x|\Bigg|_{-1}^{1} = -\frac{1}{2} \ln\left(\frac{1}{1}\right) = \frac{1}{2} \ln 1 + \frac{1}{2} \ln 5 = 0.5 \ln 5;
\)

8)
\(
\int_{0}^{2\pi} \left(\sin\left(\frac{x}{6}\right) + \cos(5x)\right) dx =
\)
\(
-6 \cos\left(\frac{x}{6}\right) + \frac{1}{5} \sin(5x)\Bigg|_{0}^{2\pi} = (-6 \cos(\pi/3) + \frac{1}{5} \sin(0)) — (-6 \cos(0) + \frac{1}{5} \sin(0)) =
\)
\(
-6 \cdot \frac{1}{2} + 6 = 3;
\)

9)
\(
\int_{0}^{2\pi} \sin\left(\frac{\pi}{3} — 3x\right) dx = \left(\frac{1}{3} \cos\left(\frac{\pi}{3} — 3x\right)\right)\Bigg|_{0}^{2\pi} = \frac{1}{3} \left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) — \cos(-2\pi)\right) =
\)
\(
= \frac{1}{3} \left(\frac{1}{2} — (-1)\right) = 0;
\)

10)
\(
\int_{-6}^{0} e^{-\frac{x}{6}} dx = -6e^{-\frac{x}{6}}\Bigg|_{-6}^{0} = -6e^{0} + 6e^{1} = 6e — 6;
\)

11)
\(
\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{dx}{(4x + 1)^3} = \left(-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} (4x + 1)^{-2}\right)\Bigg|_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} = -\frac{1}{8} \left(\frac{1}{(4 \cdot \frac{1}{2} + 1)^2} — \frac{1}{(4 \cdot (-\frac{1}{2}) + 1)^2}\right) =
\)
\(
= -\frac{1}{8} \left(\frac{1}{9} — \frac{1}{9}\right) = -\frac{1}{9};
\)

12)
\(
\int_{\frac{3}{4}}^{\frac{4}{4}} \left(4 \cdot \frac{3}{4} \cdot \left(\frac{x}{4} — 2\right)^4\right) dx = 4 \cdot \frac{3}{4} \cdot \left(\frac{4}{4} — 2\right)^4 — 4 \cdot \frac{3}{4} \cdot \left(\frac{3}{4} — 2\right)^4 =
\)
\(
= 3 \cdot 81 — 3 \cdot (-1)^4 = 240.
\)

1.
\(
\int_1^3 (4x^3 — 4x + 3) \, dx
\)
— Подынтегральная функция: \( 4x^3 — 4x + 3 \).
— Первообразная:
\(
\int (4x^3 — 4x + 3) \, dx = \frac{4x^4}{4} — 2x^2 + 3x + C = x^4 — 2x^2 + 3x + C.
\)
— Подставляем пределы интегрирования:
\(
\left( x^4 — 2x^2 + 3x \right) \Big|_1^3 = \left( 81 — 18 + 9 \right) — \left( 1 — 2 + 3 \right) = 72 — 2 = 70.
\)

2.
\(
\int_{\pi/2}^{3\pi/2} \cos(x/3) \, dx
\)
— Подынтегральная функция: \( \cos(x/3) \).
— Первообразная:
\(
\int \cos(x/3) \, dx = 3 \sin(x/3) + C.
\)
— Подставляем пределы интегрирования:
\(
3 \sin(3\pi/6) — 3 \sin(\pi/6) = 3 (1) — 3 (1/2) = 3 — 1.5 = 1.5.
\)

3.
\(
\int_{\pi/6}^{3\pi/6} \frac{3}{\sin^2(2x)} \, dx
\)
— Подынтегральная функция: \( \frac{3}{\sin^2(2x)} \).
— Первообразная:
\(
\int \frac{3}{\sin^2(2x)} dx = -\frac{3}{2} \cot(2x) + C.
\)
— Подставляем пределы интегрирования:
\(
-\frac{3}{2} \left( \cot(2 \cdot \frac{\pi}{6}) — \cot(2 \cdot \frac{3\pi}{6}) \right)
= -\frac{3}{2} \left( \cot(\frac{\pi}{3}) — \cot(\pi) \right).
\)
Вычисляем:
\(
-\frac{3}{2} \left( \frac{\sqrt{3}}{3} — (-1) \right) = \sqrt{3}.
\)

4.
\(
\int_{-2}^1 (x — 3)^2 \, dx
\)
— Подынтегральная функция: \( (x — 3)^2 \).
— Первообразная:
\(
\int (x — 3)^2 dx = \frac{(x — 3)^3}{3} + C.
\)
— Подставляем пределы интегрирования:
\(
\left[ \frac{(x — 3)^3}{3} \right]_{-2}^1 = \frac{(1 — 3)^3}{3} — \frac{(-2 — 3)^3}{3}.
\)
Вычисляем:
\(
\frac{(-2)^3}{3} — \frac{(-5)^3}{3} = \frac{-8}{3} — \frac{-125}{3} = \frac{-8 + 125}{3} = \frac{117}{3} = 39.
\)

5.
\(
\int_1^5 (5x — 3)^5 dx
\)
— Подынтегральная функция: \( (5x — 3)^5 \).
— Первообразная:
\(
\int (5x — 3)^5 dx = \frac{(5x — 3)^6}{30} + C.
\)
— Подставляем пределы интегрирования:
\(
\left[ \frac{(5x — 3)^6}{30} \right]_1^5 = \frac{(5 \cdot 5 — 3)^6}{30} — \frac{(5 \cdot 1 — 3)^6}{30}.
\)
Вычисляем:
\(
\frac{64}{30} — \frac{64}{30} = 0.
\)

6.
\(
\int_2^6 \frac{dx}{\sqrt{3x — 2}}
\)
— Подынтегральная функция: \( \frac{1}{\sqrt{3x — 2}} \).
— Первообразная:
\(
\int \frac{dx}{\sqrt{3x — 2}} = \frac{2}{3} \sqrt{3x — 2} + C.
\)
— Подставляем пределы интегрирования:
\(
\left[ \frac{2}{3} \sqrt{3x — 2} \right]_2^6 = \frac{2}{3} (\sqrt{16}) — \frac{2}{3} (\sqrt{4}).
\)
Вычисляем:
\(
\frac{2}{3} (4) — \frac{2}{3} (2) = \frac{8}{3} — \frac{4}{3} = \frac{4}{3}.
\)

7.

\(
\int_1^3 (4x^3 — 4x + 3) \, dx
\)

— Подынтегральная функция: \( \frac{1}{3 — 2x} \)
— Вычисляем первообразную:
\(
\int \frac{dx}{3 — 2x} = -\frac{1}{2} \ln|3 — 2x| + C
\)
— Подставляем пределы интегрирования:
\(
-\frac{1}{2} \ln|3 — 2 \cdot 1| + \frac{1}{2} \ln|3 — 2 \cdot (-1)| = -\frac{1}{2} \ln 1 + \frac{1}{2} \ln 5 = \frac{1}{2} \ln 5
\)

8.

\(
\int_{0}^{2\pi} \left( \sin\frac{x}{6} + \cos 5x \right) \, dx
\)

— Подынтегральная функция: \( \sin\frac{x}{6} + \cos 5x \)
— Вычисляем первообразные:
\(
\int \sin\frac{x}{6} \, dx = -6 \cos\frac{x}{6} + C
\)
\(
\int \cos 5x \, dx = \frac{1}{5} \sin 5x + C
\)
— Подставляем пределы интегрирования:
\(
\left( -6 \cos\frac{2\pi}{6} + \frac{1}{5} \sin 5 \cdot 2\pi \right) — \left( -6 \cos 0 + \frac{1}{5} \sin 0 \right) = -6 \cdot \frac{1}{2} + 6 = 3
\)

9.

\(
\int_{0}^{2\pi} \sin\left( \frac{\pi}{3} — 3x \right) \, dx
\)

— Подынтегральная функция: \( \sin\left( \frac{\pi}{3} — 3x \right) \)
— Вычисляем первообразную:
\(
\int \sin\left( \frac{\pi}{3} — 3x \right) \, dx = -\frac{1}{3} \cos\left( \frac{\pi}{3} — 3x \right) + C
\)
— Подставляем пределы интегрирования:
\(
-\frac{1}{3} \left( \cos\left( \frac{\pi}{3} \right) — \cos(-2\pi) \right) = -\frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} — (-1) \right) = 0
\)

10.

\(
\int_{-6}^{0} e^{-\frac{x}{6}} \, dx
\)

— Подынтегральная функция: \( e^{-\frac{x}{6}} \)
— Вычисляем первообразную:
\(
\int e^{-\frac{x}{6}} \, dx = -6 e^{-\frac{x}{6}} + C
\)
— Подставляем пределы интегрирования:
\(
-6 e^{-\frac{0}{6}} + 6 e^{-\frac{-6}{6}} = -6 e^0 + 6 e^1 = 6e — 6
\)

11.

\(
\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{dx}{(4x + 1)^3}
\)

— Подынтегральная функция: \( \frac{1}{(4x + 1)^3} \)
— Вычисляем первообразную:
\(
\int \frac{dx}{(4x + 1)^3} = -\frac{1}{8(4x + 1)^2} + C
\)
— Подставляем пределы интегрирования:
\(
-\frac{1}{8} \left( \frac{1}{(4 \cdot \frac{1}{2} + 1)^2} — \frac{1}{(4 \cdot (-\frac{1}{2}) + 1)^2} \right) = -\frac{8}{72} = -\frac{1}{9}
\)

12.

\(
\int_{\frac{3}{4}}^{\frac{4}{4}} \left( 4 \cdot \frac{3}{4} \cdot \left( \frac{x}{4} — 2 \right)^4 \right) \, dx
\)

— Подынтегральная функция: \( 4 \cdot \frac{3}{4} \cdot \left( \frac{x}{4} — 2 \right)^4 \)
— Вычисляем первообразную:
\(
\int \left( \frac{x}{4} — 2 \right)^4 \, dx = 4 \cdot \frac{3}{4} \cdot \left( \frac{x}{4} — 2 \right)^5 + C
\)
— Подставляем пределы интегрирования:
\(
4 \cdot \frac{3}{4} \cdot \left( \frac{4}{4} — 2 \right)^5 — 4 \cdot \frac{3}{4} \cdot \left( \frac{3}{4} — 2 \right)^5 = 3 \cdot 81 — 3 \cdot (-1)^5 = 240
\)