Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 12 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
1. Пусть сечением тела \( \Phi \) плоскостью \( x = x_0 \) является фигура площадью \( S(x_0) \), а проекцией тела \( \Phi \) на ось абсцисс является промежуток \([a; b]\). Если \( y = S(x) \) — непрерывная на промежутке \([a; b]\) функция, то объем тела \( \Phi \) можно выразить как:
\(
V = \int_{a}^{b} S(x) \, dx
\)
2. При вращении фигуры, ограниченной графиком непрерывной на \([a; b]\) функции \( f(x) \), принимающей на данном промежутке неотрицательные значения, и прямыми \( x = a \), \( x = b \), и \( y = 0 \), вокруг оси абсцисс образуется тело объема \( V \), тогда:
\(
V = \pi \int_{a}^{b} f^2(x) \, dx
\)
1. Рассмотрим тело \( \Phi \), которое пересекается плоскостью \( x = x_0 \). Сечение этого тела представляет собой фигуру, площадь которой равна \( S(x_0) \). Если проекция тела \( \Phi \) на ось абсцисс является отрезком \([a; b]\), и функция \( y = S(x) \) является непрерывной на этом промежутке, то объем тела \( \Phi \) можно вычислить с использованием интеграла. Формула для объема имеет вид:
\(
V = \int_{a}^{b} S(x) \, dx
\)
Здесь:
— \( S(x) \) — площадь сечения тела на расстоянии \( x \) от начала координат,
— пределы интегрирования \( a \) и \( b \) задают границы проекции тела на ось абсцисс.
Эта формула позволяет вычислить объем тела путем суммирования площадей всех сечений \( S(x) \) вдоль оси \( x \), взятых в пределах от \( a \) до \( b \).
2. Теперь рассмотрим случай вращения. Пусть у нас есть фигура, ограниченная графиком функции \( f(x) \), которая непрерывна на промежутке \([a; b]\). Предположим, что функция \( f(x) \) принимает неотрицательные значения на этом промежутке. Также фигура ограничена прямыми \( x = a \), \( x = b \), и осью \( y = 0 \). Если эту фигуру вращать вокруг оси абсцисс, то образуется тело вращения.
Объем этого тела можно вычислить с помощью следующей формулы:
\(
V = \pi \int_{a}^{b} f^2(x) \, dx
\)
Здесь:
— \( f(x) \) — функция, задающая форму границы фигуры,
— пределы интегрирования \( a \) и \( b \) задают границы вращения,
— множитель \( \pi \) появляется из-за того, что при вращении образуются круги, площадь которых пропорциональна квадрату радиуса.
Формула показывает, что объем тела вращения равен интегралу от площади кругов с радиусом \( f(x) \), взятому по всему промежутку вращения.