ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 12 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1. Пусть сечением тела \( \Phi \) плоскостью \( x = x_0 \) является фигура площадью \( S(x_0) \), а проекцией тела \( \Phi \) на ось абсцисс является промежуток \([a; b]\). Если \( y = S(x) \) — непрерывная на промежутке \([a; b]\) функция, то объем тела \( \Phi \) можно выразить как:
\(
V = \int_{a}^{b} S(x) \, dx
\)

2. При вращении фигуры, ограниченной графиком непрерывной на \([a; b]\) функции \( f(x) \), принимающей на данном промежутке неотрицательные значения, и прямыми \( x = a \), \( x = b \), и \( y = 0 \), вокруг оси абсцисс образуется тело объема \( V \), тогда:
\(
V = \pi \int_{a}^{b} f^2(x) \, dx
\)

1. Рассмотрим тело \( \Phi \), которое пересекается плоскостью \( x = x_0 \). Сечение этого тела представляет собой фигуру, площадь которой равна \( S(x_0) \). Если проекция тела \( \Phi \) на ось абсцисс является отрезком \([a; b]\), и функция \( y = S(x) \) является непрерывной на этом промежутке, то объем тела \( \Phi \) можно вычислить с использованием интеграла. Формула для объема имеет вид:
\(
V = \int_{a}^{b} S(x) \, dx
\)
Здесь:
— \( S(x) \) — площадь сечения тела на расстоянии \( x \) от начала координат,
— пределы интегрирования \( a \) и \( b \) задают границы проекции тела на ось абсцисс.

Эта формула позволяет вычислить объем тела путем суммирования площадей всех сечений \( S(x) \) вдоль оси \( x \), взятых в пределах от \( a \) до \( b \).

2. Теперь рассмотрим случай вращения. Пусть у нас есть фигура, ограниченная графиком функции \( f(x) \), которая непрерывна на промежутке \([a; b]\). Предположим, что функция \( f(x) \) принимает неотрицательные значения на этом промежутке. Также фигура ограничена прямыми \( x = a \), \( x = b \), и осью \( y = 0 \). Если эту фигуру вращать вокруг оси абсцисс, то образуется тело вращения.

Объем этого тела можно вычислить с помощью следующей формулы:
\(
V = \pi \int_{a}^{b} f^2(x) \, dx
\)
Здесь:
— \( f(x) \) — функция, задающая форму границы фигуры,
— пределы интегрирования \( a \) и \( b \) задают границы вращения,
— множитель \( \pi \) появляется из-за того, что при вращении образуются круги, площадь которых пропорциональна квадрату радиуса.

Формула показывает, что объем тела вращения равен интегралу от площади кругов с радиусом \( f(x) \), взятому по всему промежутку вращения.