Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 12.2 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
1. \(
y = \sqrt{\cos(x)}, \quad y = 0, \quad x = -\frac{\pi}{4}, \quad x = \frac{\pi}{4};
\)
2. \(
y = x — x^2, \quad y = 0;
\)
3. \(
y = \sqrt{x}, \quad y = 1, \quad x = 2.
\)
1. \( V = \pi \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \cos(x) dx = \pi [\sin(x)]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} = \pi \left(\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) — \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) = \)
\( = \pi \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi \sqrt{2} \)
2. \( V = \pi \int_0^1 (x — x^2)^2 dx = \pi \int_0^1 \left(x^2 — 2x^3 + x^4\right) dx = \pi \left[\frac{x^3}{3} — \frac{x^4}{2} + \frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \)
\( = \pi \left(\frac{1}{3} — \frac{1}{2} + \frac{1}{5}\right) = \pi \left(\frac{10}{30} — \frac{15}{30} + \frac{6}{30}\right) = \frac{\pi}{30} \).
3. \( V = \pi \int_1^2 (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_1^2 (x — 1) dx = \pi \left[\frac{x^2}{2} — x\right]_1^2 = \).
\( = \pi \left[\left(\frac{4}{2} — 2\right) — \left(\frac{1}{2} — 1\right)\right] = \pi \cdot 0.5 = 0.5\pi \).
1. \( V = \pi \int_{-\pi/4}^{\pi/4} (\cos(x)) dx = \pi [\sin(x)]_{-\pi/4}^{\pi/4} \).
Подставляем пределы:
\( V = \pi \left(\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) — \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) \).
Значение \( \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), а \( \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \):
\( V = \pi \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi \sqrt{2} \).
Ответ: \( V = \pi \sqrt{2} \).
2. \( V = \pi \int_0^1 (x — x^2)^2 dx = \pi \int_0^1 (x^2 — 2x^3 + x^4) dx \).
Интегрируем каждое слагаемое:
\( \int x^2 dx = \frac{x^3}{3}, \, \int x^3 dx = \frac{x^4}{4}, \, \int x^4 dx = \frac{x^5}{5} \).
Подставляем:
\( V = \pi \left[\frac{x^3}{3} — \frac{2x^4}{4} + \frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \pi \left(\frac{1}{3} — \frac{1}{2} + \frac{1}{5}\right) \).
Приводим к общему знаменателю:
\( V = \pi \left(\frac{10}{30} — \frac{15}{30} + \frac{6}{30}\right) = \pi \cdot \frac{1}{30} = \frac{\pi}{30} \).
Ответ: \( V = \frac{\pi}{30} \).
3. \( V = \pi \int_1^2 \left((\sqrt{x})^2 — 1^2\right) dx = \pi \int_1^2 (x — 1) dx \).
Интегрируем:
\( V = \pi \left[\frac{x^2}{2} — x\right]_1^2 = \pi \left[\left(\frac{2^2}{2} — 2\right) — \left(\frac{1^2}{2} — 1\right)\right] = \pi \left[\left(\frac{4}{2} — 2\right) — \left(\frac{1}{2} — 1\right)\right] \).
Упрощаем:
\( V = \pi \left[(2 — 2) — \left(0.5 — 1\right)\right] = \pi \left[0 + 0.5\right] = 0.5\pi \).
Ответ: \( V = 0.5\pi \).