ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 12.3 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

В шаре радиуса \( R \) на расстоянии \( \frac{R}{2} \) от центра шара проведена плоскость. Эта плоскость разбивает шар на две части. Найдите объёмы этих частей.

Для решения задачи используем формулу объема сферического сегмента:
\(
V = \frac{\pi h^2 (3R — h)}{3}
\)
где \( R \) — радиус шара, \( h \) — высота сегмента.

1. Верхний сегмент:
Высота \( h_1 = \frac{R}{2} \).
Объем верхнего сегмента:
\(
V_1 = \frac{\pi \left(\frac{R}{2}\right)^2 \left(3R — \frac{R}{2}\right)}{3}
\)
\(
V_1 = \frac{\pi \cdot \frac{R^2}{4} \cdot \frac{5R}{2}}{3} = \frac{5\pi R^3}{24}
\)

2. Нижний сегмент:
Объем полного шара:
\(
V_{\text{шар}} = \frac{4\pi R^3}{3}
\)
Объем нижней части:
\(
V_2 = V_{\text{шар}} — V_1 = \frac{4\pi R^3}{3} — \frac{5\pi R^3}{24}
\)
Приводим к общему знаменателю:
\(
V_2 = \frac{32\pi R^3}{24} — \frac{5\pi R^3}{24} = \frac{27\pi R^3}{24}
\)
Упрощаем:
\(
V_2 = \frac{9\pi R^3}{8}
\)

Ответ:
— Верхняя часть:
\(
V_1 = \frac{5\pi R^3}{24}
\)
— Нижняя часть:
\(
V_2 = \frac{9\pi R^3}{8}
\)

1. Формула объёма сегмента шара
Объём сферического сегмента можно найти по формуле:
\(
V = \frac{\pi h^2 (3R — h)}{3},
\)
где:
— \( R \) — радиус шара,
— \( h \) — высота сегмента (расстояние от плоскости до края сферы).

2. Разделение шара
Плоскость делит шар на два сферических сегмента:
— Верхний сегмент с высотой \( h_1 = R — \frac{R}{2} = \frac{R}{2} \),
— Нижний сегмент с высотой \( h_2 = R — h_1 = R — \frac{R}{2} = \frac{R}{2} \).

Обе части имеют одинаковую высоту \( h = \frac{R}{2} \), но их объёмы различны, так как их высоты измеряются относительно разных оснований.

3. Объём верхнего сегмента
Подставляем \( h_1 = \frac{R}{2} \) в формулу объёма:
\(
V_1 = \frac{\pi h_1^2 (3R — h_1)}{3}.
\)
Подставляем:
\(
h_1 = \frac{R}{2}, \quad h_1^2 = \left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{R^2}{4}.
\)
\(
V_1 = \frac{\pi \cdot \frac{R^2}{4} \cdot \left(3R — \frac{R}{2}\right)}{3}.
\)
Упростим:
\(
3R — \frac{R}{2} = \frac{6R}{2} — \frac{R}{2} = \frac{5R}{2}.
\)
\(
V_1 = \frac{\pi \cdot \frac{R^2}{4} \cdot \frac{5R}{2}}{3} = \frac{\pi R^3 \cdot 5}{24}.
\)
Итак, объём верхней части:
\(
V_1 = \frac{5\pi R^3}{24}.
\)

4. Объём нижнего сегмента
Объём нижнего сегмента можно найти, вычитая объём верхнего сегмента из полного объёма шара.

Полный объём шара:
\(
V_{\text{шар}} = \frac{4\pi R^3}{3}.
\)

Объём нижней части:
\(
V_2 = V_{\text{шар}} — V_1.
\)
Подставляем значения:
\(
V_2 = \frac{4\pi R^3}{3} — \frac{5\pi R^3}{24}.
\)
Приведём к общему знаменателю (\( 24 \)):
\(
V_2 = \frac{32\pi R^3}{24} — \frac{5\pi R^3}{24} = \frac{27\pi R^3}{24}.
\)
Упростим:
\(
V_2 = \frac{9\pi R^3}{8}.
\)

5. Ответ
Объёмы частей шара:
— Верхняя часть: \(
V_1 = \frac{5\pi R^3}{24},
\)
— Нижняя часть: \(
V_2 = \frac{9\pi R^3}{8}.
\)