Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 12.4 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
В шаре радиуса R на расстоянии R/2 от центра шара проведена плоскость, которая разбивает шар на две части. Найдите объёмы этих частей.
Объём шара радиуса \(R\) вычисляется как вращение полукруга \(y = \sqrt{R^2 — x^2}\) вокруг оси \(x\):
\[
V = \pi \int_{-R}^{R} (R^2 — x^2) dx
\]
Разделим интеграл:
\[
V = \pi \left[\int_{-R}^{R} R^2 dx — \int_{-R}^{R} x^2 dx\right]
\]
1. Первый интеграл:
\[
\int_{-R}^{R} R^2 dx = R^2 \cdot (R — (-R)) = 2R^3
\]
2. Второй интеграл:
\[
\int_{-R}^{R} x^2 dx = \frac{x^3}{3} \Big|_{-R}^{R} = \frac{R^3}{3} — \left(-\frac{R^3}{3}\right) = \frac{2R^3}{3}
\]
Подставляем в формулу:
\[
V = \pi \left(2R^3 — \frac{2R^3}{3}\right) = \pi \cdot \frac{6R^3 — 2R^3}{3} = \frac{4}{3}\pi R^3
\]
Что и требовалось доказать.
1. Формула объема шара через интеграл
Объем шара можно найти как вращение полукруга вокруг оси \( x \). Уравнение полукруга радиуса \( R \) имеет вид:
\[
y = \sqrt{R^2 — x^2}
\]
Объем тела вращения вокруг оси \( x \) выражается через интеграл:
\[
V = \pi \int_{-R}^{R} y^2 dx
\]
Подставим \( y^2 = R^2 — x^2 \):
\[
V = \pi \int_{-R}^{R} (R^2 — x^2) dx
\]
2. Разделим интеграл
Разделим интеграл на два слагаемых:
\[
V = \pi \int_{-R}^{R} R^2 dx — \pi \int_{-R}^{R} x^2 dx
\]
Первый интеграл:
\[
\int_{-R}^{R} R^2 dx = R^2 \int_{-R}^{R} dx = R^2 [x]_{-R}^{R} = R^2 (R — (-R)) = 2R^3
\]
Второй интеграл:
\[
\int_{-R}^{R} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-R}^{R} = \frac{R^3}{3} — \left(-\frac{R^3}{3}\right) = \frac{2R^3}{3}
\]
3. Подставим результаты
Теперь подставим результаты в формулу для объема:
\[
V = \pi (2R^3 — \frac{2R^3}{3})
\]
Приведем к общему знаменателю:
\[
V = \pi \left(\frac{6R^3}{3} — \frac{2R^3}{3}\right) = \pi \frac{4R^3}{3}
\]
4. Итог
Объем шара равен:
\[
V = \frac{4}{3} \pi R^3
\]
Что и требовалось доказать.