ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 12.4 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

В шаре радиуса R на расстоянии R/2 от центра шара проведена плоскость, которая разбивает шар на две части. Найдите объёмы этих частей.

Объём шара радиуса \(R\) вычисляется как вращение полукруга \(y = \sqrt{R^2 — x^2}\) вокруг оси \(x\):

\[
V = \pi \int_{-R}^{R} (R^2 — x^2) dx
\]

Разделим интеграл:

\[
V = \pi \left[\int_{-R}^{R} R^2 dx — \int_{-R}^{R} x^2 dx\right]
\]

1. Первый интеграл:
\[
\int_{-R}^{R} R^2 dx = R^2 \cdot (R — (-R)) = 2R^3
\]

2. Второй интеграл:
\[
\int_{-R}^{R} x^2 dx = \frac{x^3}{3} \Big|_{-R}^{R} = \frac{R^3}{3} — \left(-\frac{R^3}{3}\right) = \frac{2R^3}{3}
\]

Подставляем в формулу:

\[
V = \pi \left(2R^3 — \frac{2R^3}{3}\right) = \pi \cdot \frac{6R^3 — 2R^3}{3} = \frac{4}{3}\pi R^3
\]

Что и требовалось доказать.

1. Формула объема шара через интеграл
Объем шара можно найти как вращение полукруга вокруг оси \( x \). Уравнение полукруга радиуса \( R \) имеет вид:

\[
y = \sqrt{R^2 — x^2}
\]

Объем тела вращения вокруг оси \( x \) выражается через интеграл:

\[
V = \pi \int_{-R}^{R} y^2 dx
\]

Подставим \( y^2 = R^2 — x^2 \):

\[
V = \pi \int_{-R}^{R} (R^2 — x^2) dx
\]

2. Разделим интеграл
Разделим интеграл на два слагаемых:

\[
V = \pi \int_{-R}^{R} R^2 dx — \pi \int_{-R}^{R} x^2 dx
\]

Первый интеграл:
\[
\int_{-R}^{R} R^2 dx = R^2 \int_{-R}^{R} dx = R^2 [x]_{-R}^{R} = R^2 (R — (-R)) = 2R^3
\]

Второй интеграл:
\[
\int_{-R}^{R} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-R}^{R} = \frac{R^3}{3} — \left(-\frac{R^3}{3}\right) = \frac{2R^3}{3}
\]

3. Подставим результаты
Теперь подставим результаты в формулу для объема:

\[
V = \pi (2R^3 — \frac{2R^3}{3})
\]

Приведем к общему знаменателю:

\[
V = \pi \left(\frac{6R^3}{3} — \frac{2R^3}{3}\right) = \pi \frac{4R^3}{3}
\]

4. Итог
Объем шара равен:

\[
V = \frac{4}{3} \pi R^3
\]

Что и требовалось доказать.