ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 12.5 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Выведите формулу для вычисления объёма конуса.

Пусть \( h \) — высота, \( x_0 \) — её точка, и \( S \) — площадь основания, тогда:
\(
\frac{x_0}{h} = k, \quad S(x_0) = k^2 = \frac{x_0^2}{h^2}, \quad S(x_0) = \frac{x_0^2}{h^2} S;
\)
\(
V = \int_0^h S(x) dx = \int_0^h \frac{x^2}{h^2} S dx = \frac{S}{h^2} \int_0^h x^2 dx;
\)
\(
V = \frac{S}{h^2} \left(\frac{x^3}{3}\right)\Big|_0^h = \frac{S}{h^2} \cdot \frac{h^3}{3} = \frac{1}{3} Sh = \frac{1}{3} \pi R^2 h.
\)

Ответ:
\(
\frac{1}{3} \pi R^2 h.
\)

1. Описание конуса
Конус — это трёхмерная фигура, которая образуется вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Конус имеет:
— радиус основания \( R \) — это расстояние от центра основания до его края,
— высоту \( h \) — это перпендикулярное расстояние от вершины конуса до центра основания.

2. Общий принцип вычисления объема
Объем конуса можно найти с помощью интегрального метода. Конус представляется как совокупность тонких круговых слоев (дисков), и мы складываем объемы этих дисков по всей высоте \( h \).

3. Формула для объема тонкого слоя
Объем тонкого диска на высоте \( x \) равен:
\(
dV = \pi r^2 dx
\)
где:
— \( r \) — радиус диска на высоте \( x \),
— \( dx \) — толщина слоя.

4. Связь радиуса диска \( r \) с высотой \( x \)
Радиус каждого диска уменьшается линейно от основания (где \( r = R \)) к вершине (где \( r = 0 \)). Это можно выразить через пропорцию:
\(
r = R \cdot \frac{x}{h}
\)

5. Подстановка выражения для \( r \) в формулу объема слоя
Подставим \( r = R \cdot \frac{x}{h} \) в формулу \( dV = \pi r^2 dx \):
\(
dV = \pi \left( R \cdot \frac{x}{h} \right)^2 dx
\)
Раскроем скобки:
\(
dV = \pi R^2 \cdot \frac{x^2}{h^2} dx
\)

6. Интегрирование по высоте
Чтобы найти полный объем конуса, нужно просуммировать (проинтегрировать) все такие слои от основания (\( x = 0 \)) до вершины (\( x = h \)):
\(
V = \int_0^h dV = \int_0^h \pi R^2 \cdot \frac{x^2}{h^2} dx
\)
Вынесем постоянные множители за знак интеграла:
\(
V = \pi R^2 \cdot \frac{1}{h^2} \int_0^h x^2 dx
\)

7. Вычисление интеграла
Интеграл от \( x^2 \) равен:
\(
\int x^2 dx = \frac{x^3}{3}
\)
Подставим пределы интегрирования (\( 0 \) и \( h \)):
\(
\int_0^h x^2 dx = \left( \frac{x^3}{3} \right)_0^h = \frac{h^3}{3} — 0 = \frac{h^3}{3}
\)

8. Подстановка результата интеграла
Теперь подставим результат интеграла в формулу для объема:
\(
V = \pi R^2 \cdot \frac{1}{h^2} \cdot \frac{h^3}{3}
\)
Сократим \( h^2 \):
\(
V = \frac{1}{3} \pi R^2 h
\)

Итак, объем конуса вычисляется по формуле:
\(
V = \frac{1}{3} \pi R^2 h
\)