ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 13.2 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Пусть задан многочлен \( f(n) = n^2 — n + 17 \). Известно, что значения этого многочлена при \( n = 1, n = 2, \ldots, n = 16 \) являются простыми числами.

Необходимо выяснить, следует ли из этого, что \( f(n) \) является простым числом для всех \( n \in \mathbb{N} \).

Подставим значение:
\( f(17) = (17^2 — 17 + 17) \);
\( f(17) = (17^2 = 17 \cdot 17) \);
Ответ: нет.

Подставим \( n = 17 \) в многочлен \( f(n) = n^2 — n + 17 \):
\(
f(17) = 17^2 — 17 + 17.
\)

Упростим выражение:
\(
f(17) = 17^2 — 17 + 17 = 17^2.
\)

Так как \( 17^2 = 17 \cdot 17 \), значение \( f(17) \) является произведением двух одинаковых множителей \( 17 \). Следовательно, \( f(17) \) не является простым числом, так как оно делится на \( 17 \) (кроме деления на \( 1 \) и само себя).

Таким образом, многочлен \( f(n) \) не является простым для всех \( n \), так как при \( n = 17 \) значение многочлена \( f(17) \) не является простым числом.

Ответ: нет, многочлен \( f(n) \) не является простым для всех \( n \).