Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 13.4 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Докажите, что при любом натуральном \(n\) выполняются следующие равенства:
1. \(
1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3};
\)
2. \(
1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \dots + n(3n+1) = n(n+1)^2;
\)
3. \(
1^3 + 3^3 + 5^3 + \dots + (2n-1)^3 = n^2(2n^2 — 1).
\)
1)
\(1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n + 1) = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3};\)
Если \(n = 1\), тогда:
\(1 \cdot (1 + 1) \cdot (1 + 2) = \frac{2 \cdot 3}{3} = 2;\)
Если \(n = k + 1\), тогда:
\(1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + \dots + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2) = \frac{k(k + 1)(k + 2)}{3} + \)
\(+ (k + 1)(k + 2) = \frac{(k + 1)((k + 1) + 1)((k + 1) + 2)}{3} = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3}.\)
Что и требовалось доказать.
2)
\(1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \dots + n(3n + 1) = n(n + 1)^2;\)
Если \(n = 1\), тогда:
\(1 \cdot (1 + 1)^2 = 2^2 = 4;\)
Если \(n = k + 1\), тогда:
\(1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \dots + k(3k + 1) + (k + 1)(3k + 4) = k(k + 1)^2 + \)
\( + (k + 1)(3k + 4) = (k + 1)(k^2 + k + 3k + 4) = (k + 1)(k^2 + 4k + 4) = \)
\(= (k + 1)(k + 2)^2 = n(n + 1)^2.\)
Что и требовалось доказать.
3)
\(1^3 + 3^3 + 5^3 + \dots + (2n — 1)^3 = n^2(2n^2 — 1);\)
Если \(n = 1\), тогда:
\(1^2 \cdot (2 \cdot 1^2 — 1) = 1;\)
Если \(n = k + 1\), тогда:
\(1^3 + 3^3 + 5^3 + \dots + (2k — 1)^3 + (2k + 1)^3 = k^2(2k^2 — 1) + (2k + 1)^3 = \)
\( = 2k^4 + 8k^3 + 11k^2 + 6k + 1 = 2k^4 + 4k^3 + k^2 + 4k^3 + 8k^2 + 2k + 2k^2 +\)
\(+ 4k + 1 = \)
\(= (k^2 + 2k + 1)(2k^2 + 4k + 1) = (k + 1)^2(2k^2 + 4k + 1) =\)
\(= (k + 1)^2(2(k^2 + 2k + 1) — 1) = n^2(2n^2 — 1).\)
Что и требовалось доказать.
1)
\(1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n + 1) = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3}\)
проверим для \(n = 1\):
\(1 \cdot (1 + 1) \cdot (1 + 2) = \frac{2 \cdot 3}{3} = 2\)
предположим, что равенство верно для \(n = k\):
\(1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + k(k + 1) = \frac{k(k + 1)(k + 2)}{3}\)
докажем для \(n = k + 1\):
\(1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2) = \frac{k(k + 1)(k + 2)}{3} + (k + 1)(k + 2)\)
вынесем общий множитель:
\(\frac{k(k + 1)(k + 2)}{3} + (k + 1)(k + 2) = \frac{k(k + 1)(k + 2) + 3(k + 1)(k + 2)}{3}\)
упростим числитель:
\(k(k + 1)(k + 2) + 3(k + 1)(k + 2) = (k + 1)(k + 2)(k + 3)\)
тогда:
\(\frac{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}{3} = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3}\)
что и требовалось доказать.
2)
\(1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \dots + n(3n + 1) = n(n + 1)^2\)
проверим для \(n = 1\):
\(1 \cdot (1 + 1)^2 = 2^2 = 4\)
предположим, что равенство верно для \(n = k\):
\(1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \dots + k(3k + 1) = k(k + 1)^2\)
докажем для \(n = k + 1\):
\(1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \dots + k(3k + 1) + (k + 1)(3k + 4) = k(k + 1)^2 + (k + 1)(3k + 4)\)
вынесем общий множитель:
\(k(k + 1)^2 + (k + 1)(3k + 4) = (k + 1)(k^2 + k + 3k + 4)\)
упростим выражение:
\((k + 1)(k^2 + 4k + 4) = (k + 1)(k + 2)^2\)
тогда:
\((k + 1)(k + 2)^2 = n(n + 1)^2\)
что и требовалось доказать.
3)
\(1^3 + 3^3 + 5^3 + \dots + (2n — 1)^3 = n^2(2n^2 — 1)\)
проверим для \(n = 1\):
\(1^2 \cdot (2 \cdot 1^2 — 1) = 1\)
предположим, что равенство верно для \(n = k\):
\(1^3 + 3^3 + 5^3 + \dots + (2k — 1)^3 = k^2(2k^2 — 1)\)
докажем для \(n = k + 1\):
\(1^3 + 3^3 + 5^3 + \dots + (2k — 1)^3 + (2k + 1)^3 = k^2(2k^2 — 1) + (2k + 1)^3\)
распишем куб последнего слагаемого:
\((2k + 1)^3 = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1\)
подставим:
\(k^2(2k^2 — 1) + (2k + 1)^3 = 2k^4 + 8k^3 + 11k^2 + 6k + 1\)
вынесем общий множитель:
\(2k^4 + 8k^3 + 11k^2 + 6k + 1 = (k^2 + 2k + 1)(2k^2 + 4k + 1)\)
заметим, что:
\((k^2 + 2k + 1) = (k + 1)^2\)
тогда:
\((k + 1)^2(2k^2 + 4k + 1) = (k + 1)^2(2(k^2 + 2k + 1) — 1)\)
распишем через \(n\):
\(n^2(2n^2 — 1)\)
что и требовалось доказать.