ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 13.5 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найти сумму ряда
\(
\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}
\)

Найти сумму ряда:
\( \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \)
\( = \frac{1}{2} \left( \frac{3-1}{1 \cdot 3} + \frac{5-3}{3 \cdot 5} + \frac{7-5}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{(2n+1)-(2n-1)}{(2n-1) \cdot (2n+1)} \right) \)
\( = \frac{1}{2} \left( 1 — \frac{1}{3} + \frac{1}{3} — \frac{1}{5} + \frac{1}{5} — \frac{1}{7} + \dots + \frac{1}{2n-1} — \frac{1}{2n+1} \right) \)
\( = \frac{1}{2} \left( 1 — \frac{1}{2n+1} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2n+1 — 1}{2n+1} = \frac{n}{2n+1}. \)

Найдем сумму ряда:
\( \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \).

Заметим, что каждый член ряда можно записать в виде:
\( \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} \), где \( k = 1, 2, \dots, n \).

Преобразуем дробь:
\( \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2k+1)-(2k-1)}{(2k-1)(2k+1)} \).

Теперь рассмотрим сумму:
\( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{3-1}{1 \cdot 3} + \frac{5-3}{3 \cdot 5} + \frac{7-5}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{(2n+1)-(2n-1)}{(2n-1)(2n+1)} \right) \).

Каждый член внутри суммы можно записать как:
\( \frac{(2k+1)-(2k-1)}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2k-1} — \frac{1}{2k+1} \).

Таким образом, сумма принимает вид:
\( \frac{1}{2} \left( 1 — \frac{1}{3} + \frac{1}{3} — \frac{1}{5} + \frac{1}{5} — \frac{1}{7} + \dots + \frac{1}{2n-1} — \frac{1}{2n+1} \right) \).

В этом выражении происходит сокращение всех промежуточных членов, и остается:
\( \frac{1}{2} \left( 1 — \frac{1}{2n+1} \right) \).

Теперь упростим выражение:
\( \frac{1}{2} \left( 1 — \frac{1}{2n+1} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2n+1)-1}{2n+1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2n}{2n+1} = \frac{n}{2n+1} \).

Итак, сумма ряда равна:
\( \frac{n}{2n+1} \).