Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 13.5 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Найти сумму ряда
\(
\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}
\)
Найти сумму ряда:
\( \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \)
\( = \frac{1}{2} \left( \frac{3-1}{1 \cdot 3} + \frac{5-3}{3 \cdot 5} + \frac{7-5}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{(2n+1)-(2n-1)}{(2n-1) \cdot (2n+1)} \right) \)
\( = \frac{1}{2} \left( 1 — \frac{1}{3} + \frac{1}{3} — \frac{1}{5} + \frac{1}{5} — \frac{1}{7} + \dots + \frac{1}{2n-1} — \frac{1}{2n+1} \right) \)
\( = \frac{1}{2} \left( 1 — \frac{1}{2n+1} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2n+1 — 1}{2n+1} = \frac{n}{2n+1}. \)
Найдем сумму ряда:
\( \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \).
Заметим, что каждый член ряда можно записать в виде:
\( \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} \), где \( k = 1, 2, \dots, n \).
Преобразуем дробь:
\( \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2k+1)-(2k-1)}{(2k-1)(2k+1)} \).
Теперь рассмотрим сумму:
\( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{3-1}{1 \cdot 3} + \frac{5-3}{3 \cdot 5} + \frac{7-5}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{(2n+1)-(2n-1)}{(2n-1)(2n+1)} \right) \).
Каждый член внутри суммы можно записать как:
\( \frac{(2k+1)-(2k-1)}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2k-1} — \frac{1}{2k+1} \).
Таким образом, сумма принимает вид:
\( \frac{1}{2} \left( 1 — \frac{1}{3} + \frac{1}{3} — \frac{1}{5} + \frac{1}{5} — \frac{1}{7} + \dots + \frac{1}{2n-1} — \frac{1}{2n+1} \right) \).
В этом выражении происходит сокращение всех промежуточных членов, и остается:
\( \frac{1}{2} \left( 1 — \frac{1}{2n+1} \right) \).
Теперь упростим выражение:
\( \frac{1}{2} \left( 1 — \frac{1}{2n+1} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2n+1)-1}{2n+1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2n}{2n+1} = \frac{n}{2n+1} \).
Итак, сумма ряда равна:
\( \frac{n}{2n+1} \).