ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 13.6 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найти сумму ряда:
\( \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n \cdot (n+1)} \).

Найти сумму ряда:

\[
1 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \ldots + \frac{1}{n(n+1)}
\]

\[\frac{1}{2-1} + \frac{1}{3-2} + \frac{1}{4-3} = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4}\]

\[= 1 — \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right)\]

\[= 1 — \frac{1}{n+1}\]

\[\frac{n+1-1}{n+1} = \frac{n}{n+1}\]

Итоговая формула:

\[
1 — \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}
\]

\( S = 1 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \ldots + \frac{1}{n(n+1)} \)

Каждый член ряда имеет вид:

\( \frac{1}{k(k+1)} \), где \( k = 1, 2, 3, \ldots, n \).

Разложим дробь \( \frac{1}{k(k+1)} \) в сумму двух дробей:

\[
\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} — \frac{1}{k+1}.
\]

Подставим это разложение в сумму \( S \):

\[
S = \left( 1 — \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} — \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} — \frac{1}{4} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{n} — \frac{1}{n+1} \right).
\]

Заметим, что в этом ряду происходит телескопическое сокращение:

\[
S = 1 — \frac{1}{n+1}.
\]

Таким образом, сумма ряда равна:

\[
S = 1 — \frac{1}{n+1}.
\]

Теперь преобразуем итоговую формулу:

\[
S = 1 — \frac{1}{n+1} = \frac{n+1}{n+1} — \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}.
\]

Итак, сумма ряда:

\[
S = \frac{n}{n+1}.
\]