Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 13.7 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Доказать неравенство:
\( 2^n > 2n + 1 \), где \( n \in \mathbb{N} \), \( n \geq 3 \).
Доказать равенство:
\( 2^{n} > 2n + 1, \, n \geq 3; \)
1) Если \( n = 3 \), тогда:
\( 2^{3} = 8, \, 2 \cdot 3 + 1 = 7; \)
2) Если \( n = k + 1 \), тогда:
\(
2^{(k+1)} — (2k + 1) = 2 \cdot 2^{k} — 2 \cdot (k + 1) — 1 =
\)
\(
= 2 \cdot 2^{k} — 2^{k} — 3 = 2^{k} — 2^{k} — 1 + 2^{k} — 2 =
\)
\(
= (2^{k} — (2^{k} + 1) + (2^{k} — 2) > 0,
\)
Что и требовалось доказать.
Доказать равенство:
\(2^{n} > 2n + 1, \, n \geq 3;\)
Рассмотрим доказательство по индукции.
1) База индукции: пусть \(n = 3\).
Тогда:
\(2^{3} = 8, \, 2 \cdot 3 + 1 = 7.\)
Очевидно, что \(8 > 7\). База индукции доказана.
2) Переходный шаг: предположим, что утверждение верно для \(n = k\), то есть
\(2^{k} > 2k + 1.\)
Докажем, что оно верно для \(n = k + 1\).
Рассмотрим разность:
\(2^{(k+1)} — (2(k+1) + 1).\)
Раскроем скобки:
\(2^{(k+1)} = 2 \cdot 2^{k}, \quad 2(k+1) + 1 = 2k + 2 + 1 = 2k + 3.\)
Подставим это в выражение:
\(2^{(k+1)} — (2(k+1) + 1) = 2 \cdot 2^{k} — (2k + 3).\)
Упростим:
\(2 \cdot 2^{k} — (2k + 3) = 2 \cdot 2^{k} — 2k — 3.\)
Представим \(2 \cdot 2^{k}\) как сумму \(2^{k} + 2^{k}\):
\(2^{k} + 2^{k} — 2k — 3.\)
Группируя слагаемые, получаем:
\((2^{k} — (2k + 1)) + (2^{k} — 2).\)
По предположению индукции известно, что \(2^{k} > 2k + 1\), то есть
\(2^{k} — (2k + 1) > 0.\)
Также очевидно, что \(2^{k} > 2\) для \(k \geq 3\), следовательно,
\(2^{k} — 2 > 0.\)
Сумма двух положительных чисел больше нуля:
\((2^{k} — (2k + 1)) + (2^{k} — 2) > 0.\)
Таким образом, доказано, что \(2^{(k+1)} > 2(k+1) + 1.\)
Что и требовалось доказать.