ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 13.7 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Доказать неравенство:
\( 2^n > 2n + 1 \), где \( n \in \mathbb{N} \), \( n \geq 3 \).

Доказать равенство:
\( 2^{n} > 2n + 1, \, n \geq 3; \)

1) Если \( n = 3 \), тогда:
\( 2^{3} = 8, \, 2 \cdot 3 + 1 = 7; \)

2) Если \( n = k + 1 \), тогда:
\(
2^{(k+1)} — (2k + 1) = 2 \cdot 2^{k} — 2 \cdot (k + 1) — 1 =
\)
\(
= 2 \cdot 2^{k} — 2^{k} — 3 = 2^{k} — 2^{k} — 1 + 2^{k} — 2 =
\)
\(
= (2^{k} — (2^{k} + 1) + (2^{k} — 2) > 0,
\)

Что и требовалось доказать.

Доказать равенство:
\(2^{n} > 2n + 1, \, n \geq 3;\)

Рассмотрим доказательство по индукции.

1) База индукции: пусть \(n = 3\).
Тогда:
\(2^{3} = 8, \, 2 \cdot 3 + 1 = 7.\)
Очевидно, что \(8 > 7\). База индукции доказана.

2) Переходный шаг: предположим, что утверждение верно для \(n = k\), то есть
\(2^{k} > 2k + 1.\)
Докажем, что оно верно для \(n = k + 1\).

Рассмотрим разность:
\(2^{(k+1)} — (2(k+1) + 1).\)

Раскроем скобки:
\(2^{(k+1)} = 2 \cdot 2^{k}, \quad 2(k+1) + 1 = 2k + 2 + 1 = 2k + 3.\)

Подставим это в выражение:
\(2^{(k+1)} — (2(k+1) + 1) = 2 \cdot 2^{k} — (2k + 3).\)

Упростим:
\(2 \cdot 2^{k} — (2k + 3) = 2 \cdot 2^{k} — 2k — 3.\)

Представим \(2 \cdot 2^{k}\) как сумму \(2^{k} + 2^{k}\):
\(2^{k} + 2^{k} — 2k — 3.\)

Группируя слагаемые, получаем:
\((2^{k} — (2k + 1)) + (2^{k} — 2).\)

По предположению индукции известно, что \(2^{k} > 2k + 1\), то есть
\(2^{k} — (2k + 1) > 0.\)

Также очевидно, что \(2^{k} > 2\) для \(k \geq 3\), следовательно,
\(2^{k} — 2 > 0.\)

Сумма двух положительных чисел больше нуля:
\((2^{k} — (2k + 1)) + (2^{k} — 2) > 0.\)

Таким образом, доказано, что \(2^{(k+1)} > 2(k+1) + 1.\)

Что и требовалось доказать.