Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 13.8 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Докажите неравенство:
\(
3^n > 4n + 1, \, n \in \mathbb{N}, \, n \geq 3.
\)
1) Если \(n = 3\), тогда:
\[3^3 = 27, \, 12 + 1 = 13;\]
2) Если \(n = k + 1\), тогда:
\(
3^{k+1} — (4(k+1) + 1) = 3 \cdot 3^k — 4k — 5 = 3^k — 4k — 1 + 3^k — 4 =
\)
\(
= (3^k — (4k + 1)) + (3^k — 4) > 0.
\)
Что и требовалось доказать.
Условие задачи:
Доказать, что для \(n \geq 3\):
\(
3^n > 4n + 1.
\)
Шаг 1: Проверка для \(n = 3\)
Подставляем \(n = 3\) в неравенство:
\(
3^3 \stackrel{?}{>} 4 \cdot 3 + 1.
\)
Считаем левую и правую части:
\(
3^3 = 27, \quad 4 \cdot 3 + 1 = 12 + 1 = 13.
\)
Очевидно:
\(
27 > 13,
\)
значит, неравенство верно для \(n = 3\).
Шаг 2: Переход от \(n = k\) к \(n = k + 1\)
Предположим, что для некоторого \(k \geq 3\) верно:
\(
3^k > 4k + 1.
\)
Докажем, что для \(n = k + 1\) также выполняется неравенство:
\(
3^{k+1} > 4(k+1) + 1.
\)
Левая часть:
\(
3^{k+1} = 3 \cdot 3^k.
\)
Правая часть:
\(
4(k+1) + 1 = 4k + 4 + 1 = 4k + 5.
\)
Теперь проверим разность между левой и правой частями:
\(
3^{k+1} — (4(k+1) + 1) = 3 \cdot 3^k — (4k + 5).
\)
Раскрываем скобки:
\(
3 \cdot 3^k — (4k + 5) = (3^k — (4k + 1)) + (3^k — 4).
\)
Шаг 3: Анализ каждого слагаемого
— По предположению индукции:
\(
3^k — (4k + 1) > 0.
\)
— Второе слагаемое:
\(
3^k — 4 > 0,
\)
так как \(3^k > 4\) для \(k \geq 3\).
Сумма двух положительных чисел всегда больше нуля:
\(
(3^k — (4k + 1)) + (3^k — 4) > 0.
\)
Шаг 4: Вывод
Мы доказали, что если неравенство верно для \(n = k\), то оно также верно для \(n = k+1\). Так как мы проверили базу индукции (\(n = 3\)), то по математической индукции неравенство выполняется для всех \(n \geq 3\).
Ответ:
Что и требовалось доказать.