ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 13.9 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Доказать, что для любого натурального \(n\):
1. \((3^{2n+1} + 2^{n+2}) \mod 7 = 0\);
2. \((6^{2n} + 19^n — 2^{n+1}) \mod 17 = 0\).

Доказать кратность:

1) \( (3^{2n+1} + 2^{n+2}) : 7 \);
Если \( n = 1 \), тогда:
\( 3^3 + 2^3 = 27 + 8 = 35 \);

Если \( n = k + 1 \), тогда:
\( S = 3^{2(k+1)+1} + 2^{(k+1)+2} = 3^{2k+3} + 2^{k+3} \);
\( S = 3^2 \cdot 3^{2k+1} + 2 \cdot 2^{k+2} \);
\( S = 9 \cdot 3^{2k+1} + 2 \cdot 2^{k+2} \);
\( S = 2 \cdot (3^{2k+1} + 2^{k+2}) + 7 \cdot 3^{2k+1} \);
\( S : 7 \);

Что и требовалось доказать.

2) \( (6^{2n} + 19^n — 2^{n+1}) : 17 \);
Если \( n = 1 \), тогда:
\( 6^2 + 19 — 4 = 51 \);

Если \( n = k + 1 \), тогда:
\( S = 6^{2(k+1)} + 19^{k+1} — 2^{(k+1)+1} = 6^{2k+2} + 19^{k+1} — 2^{k+2} \);
\( S = 6^2 \cdot 6^{2k} + 19 \cdot 19^k — 2 \cdot 2^{k+1} \);
\( S = 36 \cdot 6^{2k} + 19 \cdot 19^k — 2 \cdot 2^{k+1} \);
\( S = 2 \cdot (6^{2k} + 19^k — 2^{k+1}) + 34 \cdot 6^{2k} + 17 \cdot 19^k \);
\( S : 17 \);

Что и требовалось доказать.

Доказать кратность:

1) \( (3^{2n+1} + 2^{n+2}) : 7 \)

Если \( n = 1 \), тогда:
\(
3^3 + 2^3 = 27 + 8 = 35
\)
Так как \( 35 : 7 = 5 \), то утверждение верно.

Если \( n = k + 1 \), тогда:
\(
S = 3^{2(k+1)+1} + 2^{(k+1)+2}
\)
Раскроем скобки:
\(
S = 3^{2k+3} + 2^{k+3}
\)
Представим степени как произведение:
\(
S = 3^2 \cdot 3^{2k+1} + 2 \cdot 2^{k+2}
\)
Запишем в виде суммы:
\(
S = 9 \cdot 3^{2k+1} + 2 \cdot 2^{k+2}
\)
Вынесем общий множитель \( 2 \):
\(
S = 2 \cdot (3^{2k+1} + 2^{k+2}) + 7 \cdot 3^{2k+1}
\)
Так как \( (3^{2k+1} + 2^{k+2}) \) кратно \( 7 \), то \( S : 7 \).

Что и требовалось доказать.

2) \( (6^{2n} + 19^n — 2^{n+1}) : 17 \)

Если \( n = 1 \), тогда:
\(
6^2 + 19 — 4 = 36 + 19 — 4 = 51
\)
Так как \( 51 : 17 = 3 \), то утверждение верно.

Если \( n = k + 1 \), тогда:
\(
S = 6^{2(k+1)} + 19^{k+1} — 2^{(k+1)+1}
\)
Раскроем скобки:
\(
S = 6^{2k+2} + 19^{k+1} — 2^{k+2}
\)
Представим степени как произведение:
\(
S = 6^2 \cdot 6^{2k} + 19 \cdot 19^k — 2 \cdot 2^{k+1}
\)
Запишем в виде суммы:
\(
S = 36 \cdot 6^{2k} + 19 \cdot 19^k — 2 \cdot 2^{k+1}
\)
Вынесем общий множитель \( 2 \):
\(
S = 2 \cdot (6^{2k} + 19^k — 2^{k+1}) + (34 \cdot 6^{2k} + 17 \cdot 19^k)
\)
Так как \( (6^{2k} + 19^k — 2^{k+1}) \) кратно \( 17 \), то \( S : 17 \).

Что и требовалось доказать.