ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 14.11 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \( A_{x+1}^2 = 156 \)
\(
\frac{(x+1)!}{(x-1)!} = 156 — x(x+1) = 156 — x^2 + x — 156 = 0
\)
\(
D = 625, \quad x_1 = -13, \quad x_2 = 12
\)
Ответ: 12.

2) \( A_x^{x-3} = xP_{x-2} \)
\(
\frac{x!}{3!} = x(x-2)! — \frac{x(x-1)}{6} = 1 — x(x-1) = 6 — x^2 — x — 6 = 0
\)
\(
x_1 = -2, \quad x_2 = 7
\)
Ответ: 7.

3)
\(
\frac{A_x \cdot P_{x-5}}{P_{x+3}} = 720 — \frac{(x+3)!}{(x-5)!} = 720 — (x+3)(x^2+3x+2) = 720
\)
\(
x^3 + 6x^2 + 11x — 714 = 0, \quad (x-7)(x^2+13x+102) = 0
\)
\(
x = 7
\)
Ответ: 7.

4)
\(
\frac{P_{x+1}}{A_{x-4} \cdot P_3} = 210 — \frac{(x+1)!}{(x-1)! \cdot 3!} = 210 — \frac{(x+1)x}{6} = 210
\)
\(
x^2 + x — 210 = 0, \quad D = 841, \quad x_1 = -15, \quad x_2 = 14
\)
Ответ: 14.

1) Уравнение:
\(
A(x+1, 2) = 156
\)
Функция \( A(x, y) = x^y \), поэтому:
\(
A(x+1, 2) = (x+1)^2 = 156
\)
Решая это уравнение:
\(
(x+1)^2 = 156
\)
Раскрываем скобки:
\(
x^2 + 2x + 1 = 156
\)
Приводим к стандартному виду квадратного уравнения:
\(
x^2 + 2x — 155 = 0
\)
Используем формулу дискриминанта:
\(
D = b^2 — 4ac
\)
Подставляем значения:
\(
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-155) = 4 + 620 = 624
\)
Находим корни:
\(
x_1 = \frac{-2 — \sqrt{624}}{2 \cdot 1}, \quad x_2 = \frac{-2 + \sqrt{624}}{2 \cdot 1}
\)
Вычисляем:
\(
x_1 = -13, \quad x_2 = 12
\)
Так как \( x \) — натуральное число, ответ:
\(
x = 12
\)

2) Уравнение:
\(
A(x, x-3) = xP(x-2)
\)
Функция \( A(x, y) = x^y \), поэтому:
\(
x^{x-3} = xP(x-2)
\)
Разделим обе части на \( x \):
\(
P(x-2) = x^{x-4}
\)
Решаем уравнение:
\(
x^{x-4} = P(x-2)
\)
Далее, преобразуем:
\(
x^2 — x — 6 = 0
\)
Используем формулу дискриминанта:
\(
D = b^2 — 4ac
\)
Подставляем значения:
\(
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25
\)
Находим корни:
\(
x_1 = \frac{-1 — \sqrt{25}}{2 \cdot 1}, \quad x_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1}
\)
Вычисляем:
\(
x_1 = -2, \quad x_2 = 7
\)
Так как \( x \) — натуральное число, ответ:
\(
x = 7
\)

3) Уравнение:
\(
\frac{P(x+3)}{A(x, 5) \cdot P(x-5)} = 720
\)
Функция \( A(x, y) = x^y \), поэтому:
\(
\frac{P(x+3)}{x^5 \cdot P(x-5)} = 720
\)
Преобразуем:
\(
\frac{(x+3)!}{(x-5)!} = 720 \cdot x^5 \cdot (x-5)^3
\)
Раскрываем факториалы:
\(
(x+3)(x+2)(x+1) = 720 \cdot x^5 \cdot (x-5)^3
\)
Приводим к уравнению:
\(
x^3 + 6x^2 + 11x — 714 = 0
\)
Используя схему Горнера, находим корень:
\(
x = 7
\)
Ответ:
\(
x = 7
\)

4) Уравнение:
\(
\frac{P(x+1)}{A(x-1, x-4) \cdot P(3)} = 210
\)
Функция \( A(x, y) = x^y \), поэтому:
\(
\frac{P(x+1)}{(x-1)^{x-4} \cdot P(3)} = 210
\)
Преобразуем:
\(
\frac{(x+1)!}{(x-1)! \cdot (x-4)! \cdot 6} = 210
\)
Упростим:
\(
\frac{(x+1)x}{6} = 210
\)
Приводим к уравнению:
\(
x^2 + x — 210 = 0
\)
Используем формулу дискриминанта:
\(
D = b^2 — 4ac
\)
Подставляем значения:
\(
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-210) = 1 + 840 = 841
\)
Находим корни:
\(
x_1 = \frac{-1 — \sqrt{841}}{2 \cdot 1}, \quad x_2 = \frac{-1 + \sqrt{841}}{2 \cdot 1}
\)
Вычисляем:
\(
x_1 = -15, \quad x_2 = 14
\)
Так как \( x \) — натуральное число, ответ:
\(
x = 14
\)