ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 14.12 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решить в натуральных числах следующие уравнения:

1)
\(
A(x, 2) = 20
\)

2)
\(
A(x, 5) = 18 \cdot A(x-2, 4)
\)

3)
\(
\frac{A(x, 3) + 3A(x, 2)}{P(x+1)} = \frac{1}{2}
\)

1) \( A_x^2 = 20 \)

\(
A_x^2 = \frac{x!}{(x — 2)!}
\)
\(
\frac{x!}{(x — 2)!} = 20
\)
\(
x(x — 1) = 20
\)
\(
x^2 — x — 20 = 0
\)
\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81
\)
\(
x_1 = \frac{-1 — 9}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{-1 + 9}{2} = 5
\)
Так как \( x \) — натуральное число, то \( x = 5 \).

Ответ: \( x = 5 \).

2) \( A_x^5 = 18 \cdot A_{x-2}^4 \)

\(
A_x^5 = \frac{x!}{(x — 5)!}, \quad A_{x-2}^4 = \frac{(x — 2)!}{(x — 6)!}
\)
\(
\frac{x!}{(x — 5)!} = 18 \cdot \frac{(x — 2)!}{(x — 6)!}
\)
\(
\frac{x(x — 1)(x — 2)!}{(x — 5)(x — 6)!} = \frac{18(x — 2)!}{(x — 5)(x — 6)!}
\)
\(
x(x — 1) = 18
\)
\(
x^2 — x — 18x + 90 = 0, \quad x^2 — 19x + 90 = 0
\)
\(
D = (-19)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 90 = 361 — 360 = 1
\)
\(
x_1 = \frac{19 — 1}{2} = 9, \quad x_2 = \frac{19 + 1}{2} = 10
\)

Ответ: \( x = 9, \, x = 10 \).

3) \( \frac{A_x^3 + 3A_x^2}{P_{x+1}} = \frac{1}{2} \)

\(
A_x^3 = \frac{x!}{(x — 3)!}, \quad A_x^2 = \frac{x!}{(x — 2)!}, \quad P_{x+1} = (x + 1)!
\)
\(
\frac{\frac{x!}{(x — 3)!} + 3 \cdot \frac{x!}{(x — 2)!}}{(x + 1)!} = \frac{1}{2}
\)
\(
\frac{x(x — 1)(x — 2) + 3x(x — 1)}{(x + 1)x(x — 1)(x — 2)} = \frac{1}{2}
\)
\(
x(x — 1)(x — 2) + 3x(x — 1) = (x + 1)!
\)
\(
(x — 2)! = 2, \quad x — 2 = 2, \quad x = 4
\)

Ответ: \( x = 4 \).

1) \( A_x^2 = 20 \)

Формула для числа размещений:
\(
A_x^2 = \frac{x!}{(x — 2)!}
\)
Подставим в уравнение:
\(
\frac{x!}{(x — 2)!} = 20
\)
Раскроем факториалы:
\(
x(x — 1) = 20
\)
Решим квадратное уравнение:
\(
x^2 — x — 20 = 0
\)
Найдем дискриминант:
\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81
\)
Корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{-1 — 9}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{-1 + 9}{2} = 5
\)
Так как \( x \) — натуральное число, то \( x = 5 \).

Ответ: \( x = 5 \).

2) \( A_x^5 = 18 \cdot A_{x-2}^4 \)

Формула для числа размещений:
\(
A_x^5 = \frac{x!}{(x — 5)!}, \quad A_{x-2}^4 = \frac{(x — 2)!}{(x — 6)!}
\)
Подставим в уравнение:
\(
\frac{x!}{(x — 5)!} = 18 \cdot \frac{(x — 2)!}{(x — 6)!}
\)
Сократим факториалы:
\(
\frac{x(x — 1)(x — 2)(x — 3)(x — 4)(x — 5)!}{(x — 5)!} =
\)
\(
= \frac{18(x — 2)(x — 3)(x — 4)(x — 5)(x — 6)!}{(x — 6)!}
\)
Сокращаем одинаковые множители:
\(
x(x — 1)(x — 2) = 18(x — 5)(x — 6)
\)
Раскроем скобки:
\(
x^2 — x = 18x — 90
\)
Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:
\(
x^2 — 19x + 90 = 0
\)
Найдем дискриминант:
\(
D = (-19)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 90 = 361 — 360 = 1
\)
Корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{19 — 1}{2} = 9, \quad x_2 = \frac{19 + 1}{2} = 10
\)

Ответ: \( x = 9, \, x = 10 \).

3) \( \frac{A_x^3 + 3A_x^2}{P_{x+1}} = \frac{1}{2} \)

Формула для числа размещений и перестановок:
\(
A_x^3 = \frac{x!}{(x — 3)!}, \quad A_x^2 = \frac{x!}{(x — 2)!}, \quad P_{x+1} = (x + 1)!
\)
Подставим в уравнение:
\(
\frac{\frac{x!}{(x — 3)!} + 3 \cdot \frac{x!}{(x — 2)!}}{(x + 1)!} = \frac{1}{2}
\)
Приведем к общему знаменателю числитель:
\(
\frac{\frac{x(x — 1)(x — 2)(x — 3)!}{(x — 3)!} + \frac{3x(x — 1)(x — 2)(x — 3)!}{(x — 3)!}}{(x + 1)!} = \frac{1}{2}
\)
Сократим факториалы в числителе:
\(
\frac{x(x — 1)(x — 2) + 3x(x — 1)}{(x + 1)!} = \frac{1}{2}
\)
Вынесем общий множитель в числителе:
\(
\frac{x(x — 1)((x — 2) + 3)}{(x + 1)!} = \frac{1}{2}
\)
Упростим выражение:
\(
\frac{x(x — 1)(x + 1)}{(x + 1)!} = \frac{1}{2}
\)
Сократим \( (x + 1) \):
\(
\frac{x(x — 1)}{(x — 2)!} = \frac{1}{2}
\)
Пусть \( (x — 2)! = 2 \):
\(
(x — 2) = 2, \quad x = 4
\)

Ответ: \( x = 4 \).