ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 15.12 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

У одного мальчика есть 11 марок, а у другого — 20 марок (все марки разные). Сколькими способами можно обменять 3 марки одного мальчика на 3 марки другого?

Имеются марки:
\( A = 11 \) — у первого; \( B = 20 \) — у второго;
Вариантов их обмена:
\(
N = \frac{11!}{3! \cdot 8!} \cdot \frac{20!}{3! \cdot 17!}
\)

\(
N = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9}{3 \cdot 2} \cdot \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{3 \cdot 2}
\)

\(
N = 11 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 10 \cdot 19 \cdot 6
\)

\(
N = 165 \cdot 1140 = 188100
\)

Ответ: \( 188100 \).

У первого мальчика \( A = 11 \) марок, у второго \( B = 20 \) марок.

Шаг 1: Выбор 3 марок из 11
Количество способов выбрать 3 марки из 11 определяется числом сочетаний:
\(
C_{11}^3 = \frac{11!}{3! \cdot (11-3)!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9}{3 \cdot 2 \cdot 1}
\)
Выполним вычисления:
\(
C_{11}^3 = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9}{6} = \frac{990}{6} = 165
\)

Шаг 2: Выбор 3 марок из 20
Количество способов выбрать 3 марки из 20 также определяется числом сочетаний:
\(
C_{20}^3 = \frac{20!}{3! \cdot (20-3)!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{3 \cdot 2 \cdot 1}
\)
Выполним вычисления:
\(
C_{20}^3 = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{6} = \frac{6840}{6} = 1140
\)

Шаг 3: Общее количество способов обмена
Так как выбор марок у одного мальчика и у другого независим, общее количество способов обмена равно произведению двух чисел сочетаний:
\(
N = C_{11}^3 \cdot C_{20}^3
\)
Подставим значения:
\(
N = 165 \cdot 1140
\)
Произведение:
\(
N = 188100
\)

Ответ: \( N = 188100 \).