ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 15.13 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

На плоскости задано 5 параллельных прямых. Их пересекают 7 параллельных прямых. Сколько параллелограммов при этом образовалось?

Прямые параллельны:
\( N(A) = 5, N(B) = 7 \);

Число параллелограммов:
\( N = C_5^2 \cdot C_7^2 = \frac{5!}{2! \cdot 3!} \cdot \frac{7!}{2! \cdot 5!} \)

\( N = \frac{5 \cdot 4}{2} \cdot \frac{7 \cdot 6}{2} = 210 \)

Ответ: 210.

Прямые параллельны:
\( N(A) = 5, N(B) = 7 \),
где \( N(A) \) — количество параллельных прямых в одном семействе, а \( N(B) \) — количество параллельных прямых в другом семействе.

Для вычисления количества параллелограммов используется формула:
\(
N = C_5^2 \cdot C_7^2
\),
где \( C_n^k \) — это число сочетаний из \( n \) элементов по \( k \).

Рассчитаем каждую составляющую:

1. Сначала вычислим \( C_5^2 \):
\(
C_5^2 = \frac{5!}{2! \cdot (5 — 2)!}
\)
Упростим знаменатель:
\(
C_5^2 = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2! \cdot 3!}
\)
Сократим \( 3! \):
\(
C_5^2 = \frac{5 \cdot 4}{2!}
\)
Факториал числа \( 2 \):
\(
2! = 2
\)
Подставим значение:
\(
C_5^2 = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10
\)

2. Теперь вычислим \( C_7^2 \):
\(
C_7^2 = \frac{7!}{2! \cdot (7 — 2)!}
\)
Упростим знаменатель:
\(
C_7^2 = \frac{7!}{2! \cdot 5!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{2! \cdot 5!}
\)
Сократим \( 5! \):
\(
C_7^2 = \frac{7 \cdot 6}{2!}
\)
Факториал числа \( 2 \):
\(
2! = 2
\)
Подставим значение:
\(
C_7^2 = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21
\)

Теперь подставим значения \( C_5^2 \) и \( C_7^2 \) в формулу:
\(
N = C_5^2 \cdot C_7^2 = 10 \cdot 21 = 210
\)

Ответ:
Количество параллелограммов равно \( 210 \).