ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 15.18 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

На прямой отметили 12 точек, а на параллельной ей прямой — 7 точек. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

Прямые параллельны:

\( N(A) = 12, \, N(B) = 7; \)
Число треугольников:
\( N = C_{2}^{C} + C_{12}^{C_{2}}; \)
\( N = \frac{12!}{7! \cdot (2! \cdot 5!)} + \frac{12 \cdot 2!}{10!}; \)
\( N = \frac{12 \cdot 11 \cdot 7}{7 \cdot 6} + \frac{12 \cdot 2}{2}; \)
\( N = 462 + 252 = 714; \)

Ответ: \( 714. \)

Прямые параллельны:

\( N(A) = 12, \, N(B) = 7 \)

Число треугольников вычисляется по формуле:
\( N = C_{2}^{C} + C_{12}^{C_{2}} \),
где \( C_{n}^{k} \) — это количество сочетаний из \( n \) элементов по \( k \).

Распишем формулу более подробно:
\(
N = \frac{12!}{7! \cdot (2! \cdot 5!)} + \frac{12 \cdot 2!}{10!}.
\)

Упростим первую часть:
\(
\frac{12!}{7! \cdot (2! \cdot 5!)} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{2 \cdot 1 \cdot (5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)}.
\)
Сокращаем факториалы:
\(
= \frac{12 \cdot 11}{2} = 462.
\)

Теперь упростим вторую часть:
\(
\frac{12 \cdot 2!}{10!} = \frac{12 \cdot (2)}{2} = 252.
\)

Складываем результаты:
\(
N = 462 + 252 = 714.
\)

Ответ: \( 714. \)