ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 15.22 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Для школьной лотереи подготовили 100 билетов, из которых 12 выигрышных. Первый ученик выбирает наугад 10 билетов. Сколько существует вариантов, при которых он выберет не менее 2 выигрышных билетов?

Дано:
a = 12 — выигрышных билетов,
b = 88 — проигрышных билетов.

Шаги:

1. Общее количество способов выбрать 10 билетов из 100:
C(100, 10) = \(\frac{100!}{90! \cdot 10!}\).

2. Количество способов выбрать 10 билетов только из 88 проигрышных:
C(88, 10) = \(\frac{88!}{78! \cdot 10!}\).

3. Количество способов выбрать 9 проигрышных и 1 выигрышный:
C(88, 9) \(\cdot\) C(12, 1),
где C(12, 1) = 12.

Итоговое количество подходящих вариантов:
\(N = C(100, 10) — \left(C(88, 10) + C(88, 9) \cdot C(12, 1)\right)\).

Ответ:
\(N = 5\,940\,437\,287\,664.\)

билеты в лотерее: \(a = 12\) — выигрышных; \(b = 88\) — проигрышных.

1) подходящие сочетания:

общее количество способов выбрать 10 билетов из 100:
\(
c_{10}^{100} = \frac{100!}{90! \cdot 10!} = \frac{100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot \ldots \cdot 92 \cdot 91}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2} = 10 \cdot 11 \cdot 49 \cdot 97 \cdot 2 \cdot 19 \cdot 94 \cdot 31 \cdot 23 \cdot 13,
\)
\(
c_{10}^{100} = 19\,867\,540 \cdot 871\,286 = 17\,310\,309\,456\,440.
\)

количество способов выбрать 10 билетов из 88 проигрышных:
\(
c_{10}^{88} = \frac{88!}{78! \cdot 10!} = \frac{88 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85 \cdot 84 \cdot 83 \cdot 82 \cdot \ldots \cdot 79}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = 11 \cdot 29 \cdot 43 \cdot 17 \cdot 2 \cdot 83 \cdot 82 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 79,
\)
где \(c_{12}^{12} = 1;\)

\(
c_{10}^{88} = 233\,189 \cdot 19\,356\,264 = 4\,513\,667\,845\,896.
\)

количество способов выбрать 9 билетов из 88 проигрышных:
\(
c_{9}^{88} = \frac{88!}{79! \cdot 9!} = \frac{88 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85 \cdot 84 \cdot 83 \cdot 82 \cdot 81 \cdot 80}{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = 11 \cdot 29 \cdot 43 \cdot 17 \cdot 2 \cdot 83 \cdot 82 \cdot 9 \cdot 20,
\)
где \(c_{12}^{12} = 12;\)

\(
c_{9}^{88} = 233\,189 \cdot 2\,450\,160 = 571\,350\,360\,240.
\)

2) число всех таких вариантов:
\(
n = c_{10}^{100} — (c_{12}^{12} + c_{10}^{88});
\)

ответ: \(5\,940\,437\,287\,664.\)