ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 15.26 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

На занятиях танцевального кружка присутствуют 12 девушек и 15 юношей. Сколькими способами из них можно выбрать 4 пары для танца?

На кружке есть: \( A = 12 \) — девушек; \( B = 15 \) — юношей;
Способов выбрать четыре пары:

\(
N = C_{12} \cdot C_{15} \cdot P_{4} = \frac{12!}{4! \cdot (12 — 4)!} \cdot \frac{15!}{4! \cdot (15 — 4)!}
\)

\(
N = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{4!}
\)

\(
N = 11 \cdot 5 \cdot 9 \cdot 32,760 = 16,216,200
\)

Ответ: \( 16,216,200 \).

на кружке есть \( A = 12 \) девушек и \( B = 15 \) юношей. нужно найти количество способов выбрать четыре пары.

выбор четырех пар можно представить как произведение числа сочетаний девушек и юношей, умноженное на количество перестановок пар. формула выглядит следующим образом:

\(
N = C_{12}^{4} \cdot C_{15}^{4} \cdot P_{4}
\)

где:
— \( C_{n}^{k} \) — число сочетаний из \( n \) элементов по \( k \),
— \( P_{n} \) — число перестановок из \( n \) элементов.

число сочетаний вычисляется по формуле:

\(
C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n — k)!}
\)

число перестановок вычисляется по формуле:

\(
P_{n} = n!
\)

подставим значения:

\(
C_{12}^{4} = \frac{12!}{4! \cdot (12 — 4)!} = \frac{12!}{4! \cdot 8!}
\)

\(
C_{15}^{4} = \frac{15!}{4! \cdot (15 — 4)!} = \frac{15!}{4! \cdot 11!}
\)

\(
P_{4} = 4!
\)

теперь подставим все в формулу для \( N \):

\(
N = \frac{12!}{4! \cdot 8!} \cdot \frac{15!}{4! \cdot 11!} \cdot 4!
\)

сократим факториалы, оставив только нужные множители:

\(
C_{12}^{4} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}
\)

\(
C_{15}^{4} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}
\)

теперь вычислим:

\(
C_{12}^{4} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{24} = 495
\)

\(
C_{15}^{4} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{24} = 1365
\)

перестановки пар:

\(
P_{4} = 4! = 24
\)

теперь подставим все значения в формулу для \( N \):

\(
N = C_{12}^{4} \cdot C_{15}^{4} \cdot P_{4} = 495 \cdot 1365 \cdot 24
\)

вычислим произведение:

\(
495 \cdot 1365 = 675,675
\)

\(
675,675 \cdot 24 = 16,216,200
\)

итоговое значение:

\(
N = 16,216,200
\)

ответ: \( 16,216,200 \).