Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 15.3 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Упростите выражение:
1. \(\frac{2}{n} \cdot C(n+1, n-1)\)
2. \(\frac{3}{n} \cdot C(2n, 2n-1)\)
Упростить выражение:
1) \(\frac{2}{n} \cdot C_{n-1}^{n+1} = \frac{2}{n} \cdot \frac{(n+1)!}{(n-1)! \cdot 2!} = \frac{2}{n} \cdot \frac{(n+1) \cdot n \cdot (n-1)!}{(n-1)! \cdot 2} = n + 1;\)
2) \(\frac{3}{n} \cdot C_{2n-1}^{2n} = \frac{3}{n} \cdot \frac{(2n)!}{(2n-1)! \cdot 1!} = \frac{3}{n} \cdot \frac{2n \cdot (2n-1)!}{(2n-1)!} = 3 \cdot 2 = 6;\)
Первое выражение:
\[
\frac{2}{n} \cdot C(n+1, n-1)
\]
Формула сочетаний:
\[
C(k, m) = \frac{k!}{m! \cdot (k — m)!}
\]
Подставим \(C(n+1, n-1)\):
\[
C(n+1, n-1) = \frac{(n+1)!}{(n-1)! \cdot ((n+1) — (n-1))!} = \frac{(n+1)!}{(n-1)! \cdot 2!}
\]
Разложим \((n+1)!\):
\[
(n+1)! = (n+1) \cdot n \cdot (n-1)!
\]
Подставим это в формулу:
\[
C(n+1, n-1) = \frac{(n+1) \cdot n \cdot (n-1)!}{(n-1)! \cdot 2!}
\]
Сократим \((n-1)!\):
\[
C(n+1, n-1) = \frac{(n+1) \cdot n}{2}
\]
Теперь подставим это в исходное выражение:
\[
\frac{2}{n} \cdot C(n+1, n-1) = \frac{2}{n} \cdot \frac{(n+1) \cdot n}{2}
\]
Сократим \(2\) и \(n\):
\[
\frac{2}{n} \cdot C(n+1, n-1) = n+1
\]
Итог для первого выражения:
\[
\frac{2}{n} \cdot C(n+1, n-1) = n+1
\]
Второе выражение:
\[
\frac{3}{n} \cdot C(2n, 2n-1)
\]
Подставим \(C(2n, 2n-1)\):
\[
C(2n, 2n-1) = \frac{(2n)!}{(2n-1)! \cdot ((2n) — (2n-1))!} = \frac{(2n)!}{(2n-1)! \cdot 1!}
\]
Разложим \((2n)!\):
\[
(2n)! = 2n \cdot (2n-1)!
\]
Подставим это в формулу:
\[
C(2n, 2n-1) = \frac{2n \cdot (2n-1)!}{(2n-1)! \cdot 1!}
\]
Сократим \((2n-1)!\):
\[
C(2n, 2n-1) = 2n
\]
Теперь подставим это в исходное выражение:
\[
\frac{3}{n} \cdot C(2n, 2n-1) = \frac{3}{n} \cdot 2n
\]
Сократим \(n\):
\[
\frac{3}{n} \cdot C(2n, 2n-1) = 3 \cdot 2 = 6
\]
Итог для второго выражения:
\[
\frac{3}{n} \cdot C(2n, 2n-1) = 6
\]
Ответ:
1.
\[
\frac{2}{n} \cdot C(n+1, n-1) = n+1
\]
2.
\[
\frac{3}{n} \cdot C(2n, 2n-1) = 6
\]