ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 15.3 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1. \(\frac{2}{n} \cdot C(n+1, n-1)\)
2. \(\frac{3}{n} \cdot C(2n, 2n-1)\)

Упростить выражение:

1) \(\frac{2}{n} \cdot C_{n-1}^{n+1} = \frac{2}{n} \cdot \frac{(n+1)!}{(n-1)! \cdot 2!} = \frac{2}{n} \cdot \frac{(n+1) \cdot n \cdot (n-1)!}{(n-1)! \cdot 2} = n + 1;\)

2) \(\frac{3}{n} \cdot C_{2n-1}^{2n} = \frac{3}{n} \cdot \frac{(2n)!}{(2n-1)! \cdot 1!} = \frac{3}{n} \cdot \frac{2n \cdot (2n-1)!}{(2n-1)!} = 3 \cdot 2 = 6;\)

Первое выражение:

\[
\frac{2}{n} \cdot C(n+1, n-1)
\]

Формула сочетаний:

\[
C(k, m) = \frac{k!}{m! \cdot (k — m)!}
\]

Подставим \(C(n+1, n-1)\):

\[
C(n+1, n-1) = \frac{(n+1)!}{(n-1)! \cdot ((n+1) — (n-1))!} = \frac{(n+1)!}{(n-1)! \cdot 2!}
\]

Разложим \((n+1)!\):

\[
(n+1)! = (n+1) \cdot n \cdot (n-1)!
\]

Подставим это в формулу:

\[
C(n+1, n-1) = \frac{(n+1) \cdot n \cdot (n-1)!}{(n-1)! \cdot 2!}
\]

Сократим \((n-1)!\):

\[
C(n+1, n-1) = \frac{(n+1) \cdot n}{2}
\]

Теперь подставим это в исходное выражение:

\[
\frac{2}{n} \cdot C(n+1, n-1) = \frac{2}{n} \cdot \frac{(n+1) \cdot n}{2}
\]

Сократим \(2\) и \(n\):

\[
\frac{2}{n} \cdot C(n+1, n-1) = n+1
\]

Итог для первого выражения:

\[
\frac{2}{n} \cdot C(n+1, n-1) = n+1
\]

Второе выражение:

\[
\frac{3}{n} \cdot C(2n, 2n-1)
\]

Подставим \(C(2n, 2n-1)\):

\[
C(2n, 2n-1) = \frac{(2n)!}{(2n-1)! \cdot ((2n) — (2n-1))!} = \frac{(2n)!}{(2n-1)! \cdot 1!}
\]

Разложим \((2n)!\):

\[
(2n)! = 2n \cdot (2n-1)!
\]

Подставим это в формулу:

\[
C(2n, 2n-1) = \frac{2n \cdot (2n-1)!}{(2n-1)! \cdot 1!}
\]

Сократим \((2n-1)!\):

\[
C(2n, 2n-1) = 2n
\]

Теперь подставим это в исходное выражение:

\[
\frac{3}{n} \cdot C(2n, 2n-1) = \frac{3}{n} \cdot 2n
\]

Сократим \(n\):

\[
\frac{3}{n} \cdot C(2n, 2n-1) = 3 \cdot 2 = 6
\]

Итог для второго выражения:

\[
\frac{3}{n} \cdot C(2n, 2n-1) = 6
\]

Ответ:

1.

\[
\frac{2}{n} \cdot C(n+1, n-1) = n+1
\]

2.

\[
\frac{3}{n} \cdot C(2n, 2n-1) = 6
\]