ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 15.4 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1. \(\frac{6}{n+2} \cdot C(n+2, n)\)
2. \(\frac{1}{2n-1} \cdot C(2n+1, 2n-2)\)

1)
\(
\frac{6}{(n+2)} \cdot C(n+2, n) = \frac{6}{(n+2)} \cdot \frac{(n+2)!}{n! \cdot 2!}
\)
\(
= \frac{6 \cdot (n+1)}{2} = 3 \cdot (n+1)
\)

Ответ:
\(
3 \cdot (n+1)
\)

2)
\(
\frac{1}{(2n-1)} \cdot C(2n+1, 2n-2) = \frac{1}{(2n-1)} \cdot \frac{(2n+1)!}{(2n-2)! \cdot 3!}
\)
\(
= \frac{(2n+1) \cdot 2n}{6} = \frac{(2n+1) \cdot n}{3}
\)

Ответ:
\(
\frac{(2n+1) \cdot n}{3}
\)

1) \(\frac{6}{(n+2)} \cdot C(n+2, n)\)

Формула сочетаний:
\(C(n+2, n) = \frac{(n+2)!}{n! \cdot 2!}\)

Подставляем это в выражение:
\(\frac{6}{(n+2)} \cdot \frac{(n+2)!}{n! \cdot 2!}\)

Раскрываем факториал \((n+2)!\):
\(\frac{6}{(n+2)} \cdot \frac{(n+2) \cdot (n+1) \cdot n!}{n! \cdot 2}\)

Сокращаем \(n!\) и \((n+2)\):
\(\frac{6 \cdot (n+1)}{2} = 3 \cdot (n+1)\)

Итак, результат:
\(3 \cdot (n+1)\)

2) \(\frac{1}{(2n-1)} \cdot C(2n+1, 2n-2)\)

Формула сочетаний:
\(C(2n+1, 2n-2) = \frac{(2n+1)!}{(2n-2)! \cdot 3!}\)

Подставляем это в выражение:
\(\frac{1}{(2n-1)} \cdot \frac{(2n+1)!}{(2n-2)! \cdot 3!}\)

Раскрываем факториал \((2n+1)!\):
\(\frac{1}{(2n-1)} \cdot \frac{(2n+1) \cdot 2n \cdot (2n-1) \cdot (2n-2)!}{(2n-2)! \cdot 3!}\)

Сокращаем \((2n-2)!\) и \((2n-1)\):
\(\frac{(2n+1) \cdot 2n}{3!}\)

Подставляем \(3! = 6\):
\(\frac{(2n+1) \cdot 2n}{6}\)

Итак, результат:
\(\frac{(2n+1) \cdot n}{3}\)

Ответ:
1) \(3 \cdot (n+1)\);
2) \(\frac{(2n+1) \cdot n}{3}\).