Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 15.5 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решить уравнение:
1) \( C(x, 2) = 153 \);
\(
\frac{x!}{2!(x — 2)!} = 153, \quad \frac{x(x-1)}{2} = 153;
\)
\(
x^2 — x = 306, \quad x^2 — x — 306 = 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 306 = 1 + 1224 = 1225, \quad \text{тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{1 — 35}{2} = -17 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 35}{2} = 18;
\)
Ответ: \( x = 18 \).
2) \( C(x+2, 3) = 8(x+1) \);
\(
\frac{(x+2)!}{3!(x-1)!} = 8(x+1);
\)
\(
\frac{(x+2)(x+1)x}{6} = 8(x+1);
\)
\(
x(x+2) = 48, \quad x^2 + 2x — 48 = 0;
\)
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 48 = 4 + 192 = 196, \quad \text{тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{-2 — 14}{2} = -8 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-2 + 14}{2} = 6;
\)
Ответ: \( x = 6 \).
3) \( C(x, x-2) = 45 \);
\(
\frac{x!}{(x-2)! \cdot 2!} = 45, \quad \frac{x(x-1)}{2} = 45;
\)
\(
x^2 — x = 90, \quad x^2 — x — 90 = 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 90 = 1 + 360 = 361, \quad \text{тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{1 — 19}{2} = -9 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 19}{2} = 10;
\)
Ответ: \( x = 10 \).
4) \( 3C(2x, x+1) = 2C(2x+1, x-1) \);
\(
3 \cdot \frac{(2x)!}{(x+1)! \cdot (x-1)!} = 2 \cdot \frac{(2x+1)!}{(x-1)! \cdot (x+2)!};
\)
\(
3 \cdot \frac{(2x)!}{(x+1)!(x-1)!} = 2 \cdot \frac{(2x+1)(2x)!}{(x-1)!(x+2)(x+1)!};
\)
Сокращаем:
\(
\frac{3}{1} = \frac{2(2x+1)}{x+2};
\)
\(
3(x+2) = 2(2x+1), \quad 3x + 6 = 4x + 2;
\)
\(
x = 4.
\)
Ответ: \( x = 4 \).
1) \( C(x, 2) = 153 \)
по формуле биномиального коэффициента имеем:
\(
C(x, 2) = \frac{x!}{2!(x — 2)!} = \frac{x(x-1)}{2}
\)
подставим значение:
\(
\frac{x(x-1)}{2} = 153
\)
умножим обе стороны на 2:
\(
x(x-1) = 306
\)
раскроем скобки:
\(
x^2 — x = 306
\)
перенесем все в одну сторону:
\(
x^2 — x — 306 = 0
\)
найдем дискриминант:
\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-306) = 1 + 1224 = 1225
\)
вычислим корни:
\(
x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{1225}}{2 \cdot 1} = \frac{1 — 35}{2} = -17
\)
\(
x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{1225}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 35}{2} = 18
\)
так как \( x \) должно быть натуральным числом, то
\(
x = 18
\)
ответ: \( x = 18 \).
2) \( C(x+2, 3) = 8(x+1) \)
по формуле биномиального коэффициента имеем:
\(
C(x+2, 3) = \frac{(x+2)!}{3!(x-1)!} = \frac{(x+2)(x+1)x}{6}
\)
подставим значение:
\(
\frac{(x+2)(x+1)x}{6} = 8(x+1)
\)
умножим обе стороны на 6:
\(
(x+2)(x+1)x = 48(x+1)
\)
если \( x+1 \neq 0 \), то сократим на \( x+1 \):
\(
x(x+2) = 48
\)
раскроем скобки:
\(
x^2 + 2x = 48
\)
перенесем все в одну сторону:
\(
x^2 + 2x — 48 = 0
\)
найдем дискриминант:
\(
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196
\)
вычислим корни:
\(
x_1 = \frac{-2 — \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 — 14}{2} = -8
\)
\(
x_2 = \frac{-2 + \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 14}{2} = 6
\)
так как \( x \) должно быть натуральным числом, то
\(
x = 6
\)
ответ: \( x = 6 \).
3) \( C(x, x-2) = 45 \)
по формуле биномиального коэффициента имеем:
\(
C(x, x-2) = \frac{x!}{(x-2)! \cdot 2!} = \frac{x(x-1)}{2}
\)
подставим значение:
\(
\frac{x(x-1)}{2} = 45
\)
умножим обе стороны на 2:
\(
x(x-1) = 90
\)
раскроем скобки:
\(
x^2 — x = 90
\)
перенесем все в одну сторону:
\(
x^2 — x — 90 = 0
\)
найдем дискриминант:
\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 1 + 360 = 361
\)
вычислим корни:
\(
x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{1 — 19}{2} = -9
\)
\(
x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 19}{2} = 10
\)
так как \( x \) должно быть натуральным числом, то
\(
x = 10
\)
ответ: \( x = 10 \).
4) \( 3C(2x, x+1) = 2C(2x+1, x-1) \)
по формуле биномиального коэффициента имеем:
\(
3 \cdot \frac{(2x)!}{(x+1)! (x-1)!} = 2 \cdot \frac{(2x+1)!}{(x-1)! (x+2)!}
\)
распишем факториал \( (2x+1)! \):
\(
3 \cdot \frac{(2x)!}{(x+1)! (x-1)!} = 2 \cdot \frac{(2x+1)(2x)!}{(x-1)! (x+2)(x+1)!}
\)
сократим на \( (2x)! (x-1)! (x+1)! \):
\(
3 = \frac{2(2x+1)}{x+2}
\)
умножим обе стороны на \( x+2 \):
\(
3(x+2) = 2(2x+1)
\)
раскроем скобки:
\(
3x + 6 = 4x + 2
\)
перенесем все в одну сторону:
\(
3x + 6 — 4x — 2 = 0
\)
упростим:
\(
-x + 4 = 0
\)
найдем \( x \):
\(
x = 4
\)
ответ: \( x = 4 \).