Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 15.6 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решить уравнение:
1) \( C_2 = 120 \):
\(
\frac{x!}{2! \cdot (x — 2)!} = 120,
\)
\(
\frac{x \cdot (x — 1)}{2} = 120,
\)
\(
x^2 — x = 240, \quad x^2 — x — 240 = 0;
\)
\(
x(x — 1) = 120;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 240 = 1 + 960 = 961,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{1 — 31}{2} = -15, \quad x_2 = \frac{1 + 31}{2} = 16.
\)
Ответ: \( x = 16 \).
2) \( C_{3+2} = 7(x+2) \):
\(
\frac{(x + 2)!}{3! \cdot (x — 1)!} = 7(x + 2);
\)
\(
\frac{(x + 2)(x + 1)x}{6} = 7(x + 2);
\)
\(
x(x + 1) = 42, \quad x^2 + x — 42 = 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 42 = 1 + 168 = 169,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{-1 — 13}{2} = -7, \quad x_2 = \frac{-1 + 13}{2} = 6.
\)
Ответ: \( x = 6 \).
3) \( C_{x-2} = 66 \):
\(
\frac{x!}{(x — 2)! \cdot 2!} = 66,
\)
\(
\frac{x(x — 1)}{2} = 66;
\)
\(
x^2 — x = 132, \quad x^2 — x — 132 = 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 132 = 1 + 528 = 529,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{1 — 23}{2} = -11, \quad x_2 = \frac{1 + 23}{2} = 12.
\)
Ответ: \( x = 12 \).
4) \( 11C_{2x} = 6C_{x+1} \):
\(
\frac{11 \cdot (2x)!}{(x!)^2} = \frac{6 \cdot (2x + 1)!}{(x + 1)! \cdot x!},
\)
\(
\frac{11 \cdot (2x)!}{x! \cdot x!} = \frac{6 \cdot (2x + 1)(2x)!}{(x + 1) \cdot x! \cdot x!},
\)
\(
11(x + 1) = 6(2x + 1);
\)
\(
11x + 11 = 12x + 6, \quad x = \frac{11 — 6}{1} = 5.
\)
Ответ: \( x = 5 \).
1) \( C_2 = 120 \):
\(
\frac{x!}{2! \cdot (x — 2)!} = 120
\)
По определению сочетаний:
\(
C_2 = \frac{x(x — 1)}{2!}
\)
Подставляем \( 2! = 2 \):
\(
\frac{x(x — 1)}{2} = 120
\)
Умножим обе стороны на 2:
\(
x(x — 1) = 240
\)
Раскрываем скобки:
\(
x^2 — x = 240
\)
Приводим к стандартному виду квадратного уравнения:
\(
x^2 — x — 240 = 0
\)
Найдем дискриминант:
\(
D = b^2 — 4ac = (-1)^2 — 4(1)(-240) = 1 + 960 = 961
\)
Корни уравнения:
\(
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{961}}{2 \cdot 1}
\)
\(
x_{1,2} = \frac{1 \pm 31}{2}
\)
Находим корни:
\(
x_1 = \frac{1 — 31}{2} = -15, \quad x_2 = \frac{1 + 31}{2} = 16
\)
Так как \( x > 0 \), выбираем \( x_2 = 16 \).
Ответ: \( x = 16 \).
2) \( C_{3+2} = 7(x+2) \):
\(
\frac{(x + 2)!}{3! \cdot (x — 1)!} = 7(x + 2)
\)
По определению факториала:
\(
(x + 2)! = (x + 2)(x + 1)x(x — 1)!
\)
Подставляем в уравнение:
\(
\frac{(x + 2)(x + 1)x(x — 1)!}{6(x — 1)!} = 7(x + 2)
\)
Сокращаем \( (x — 1)! \):
\(
\frac{(x + 2)(x + 1)x}{6} = 7(x + 2)
\)
Умножим обе стороны на 6 и раскроем скобки:
\(
(x + 2)(x + 1)x = 42(x + 2)
\)
Раскрываем скобки:
\(
x^3 + 3x^2 + 2x = 42x + 84
\)
Приводим к стандартному виду:
\(
x^3 + 3x^2 — 40x — 84 = 0
\)
Рассмотрим только основной корень (при \( x > 0 \)):
Путем подбора находим \( x = 6 \).
Ответ: \( x = 6 \).
3) \( C_{x-2} = 66 \):
\(
\frac{x!}{(x — 2)! \cdot 2!} = 66
\)
По определению сочетаний:
\(
C_{x-2} = \frac{x(x — 1)}{2!}
\)
Подставляем \( 2! = 2 \):
\(
\frac{x(x — 1)}{2} = 66
\)
Умножим обе стороны на 2:
\(
x(x — 1) = 132
\)
Раскрываем скобки:
\(
x^2 — x = 132
\)
Приводим к стандартному виду квадратного уравнения:
\(
x^2 — x — 132 = 0
\)
Найдем дискриминант:
\(
D = b^2 — 4ac = (-1)^2 — 4(1)(-132) = 1 + 528 = 529
\)
Корни уравнения:
\(
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{529}}{2 \cdot 1}
\)
\(
x_{1,2} = \frac{1 \pm 23}{2}
\)
Находим корни:
\(
x_1 = \frac{1 — 23}{2} = -11, \quad x_2 = \frac{1 + 23}{2} = 12
\)
Так как \( x > 0 \), выбираем \( x_2 = 12 \).
Ответ: \( x = 12 \).
4) \( 11C_{2x} = 6C_{x+1} \):
Запишем уравнение:
\(
\frac{11(2x)!}{(x!)^2} = \frac{6(2x + 1)!}{(x + 1)! \cdot x!}
\)
Разделим обе стороны на \( (2x)! / (x!)^2 \):
\(
11(x + 1) = 6(2x + 1)
\)
Раскрываем скобки:
\(
11x + 11 = 12x + 6
\)
Приводим подобные члены:
\(
11 — 6 = x
\)
Находим значение \( x \):
\(
x = 5
\)
Ответ: \( x = 5 \).