ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 15.8 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

На плоскости отметили 10 точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

На плоскости десять точек;
Количество треугольников:

\(
N = C_{10}^3 = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2};
\)

\(
N = 5 \cdot 3 \cdot 8 = 15 \cdot 8 = 120;
\)

Ответ: 120.

Условие задачи:
На плоскости расположены десять точек. Нужно определить, сколько различных треугольников можно составить, выбрав любые три точки из этих десяти.

Решение:
Для подсчета количества треугольников используется формула числа сочетаний. Формула имеет вид:

\(
C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n — k)!}
\)

где \(n\) — общее количество элементов (в данном случае точек), \(k\) — количество элементов в группе (в данном случае 3 точки для треугольника), а «!» обозначает факториал числа.

Применяем формулу:

\(
C(10, 3) = \frac{10!}{3! \cdot (10 — 3)!}
\)

Сначала упрощаем знаменатель:

\(
C(10, 3) = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{3! \cdot 7!}
\)

Сокращаем факториалы \(7!\):

\(
C(10, 3) = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3!}
\)

Считаем дальше:
Факториал числа \(3\) равен:

\(
3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6
\)

Подставляем в выражение:

\(
C(10, 3) = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{6}
\)

Упрощаем дробь:

\(
10 \cdot 9 = 90
\)

\(
90 \cdot 8 = 720
\)

\(
\frac{720}{6} = 120
\)

Ответ:
Общее количество треугольников равно:

\(
120
\)