ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 15.9 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Дан выпуклый n-угольник. Сколько существует четырёхугольников с вершинами, содержащимися среди вершин данного n-угольника?

Для нахождения количества четырёхугольников с вершинами, содержащимися среди вершин выпуклого \(n\)-угольника, используется формула сочетаний. Мы выбираем 4 вершины из \(n\) вершин, то есть:

\(
C(n, 4) = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}.
\)

Таким образом, количество четырёхугольников равно \(C(n, 4)\).

Дан выпуклый \(n\)-угольник. Для нахождения количества четырёхугольников с вершинами, содержащимися среди вершин данного \(n\)-угольника, нужно выбрать 4 вершины из \(n\) вершин. Это задача на нахождение числа сочетаний.

Число сочетаний определяется формулой:

\(
C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!},
\)

где \(n\) — общее количество элементов (в данном случае вершин), а \(k\) — количество элементов, которые нужно выбрать (в данном случае 4 вершины).

Подставим \(k = 4\). Формула для количества четырёхугольников будет выглядеть так:

\(
C_n^4 = \frac{n!}{4!(n-4)!}.
\)

Упростим выражение. Так как \(4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\), формула примет вид:

\(
C_n^4 = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}.
\)

Таким образом, количество четырёхугольников, вершины которых содержатся среди вершин данного \(n\)-угольника, равно:

\(
C_n^4 = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}.
\)