ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 16 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1. Перестановкой конечного множества \( M \) называют любое упорядоченное множество, которое образовано из всех элементов данного множества \( M \);
2. Любое \( k \)-элементное упорядоченное подмножество, взятое из данного \( n \)-элементного множества, называют размещением из \( n \) элементов по \( k \) элементов;
3. Любое \( k \)-элементное подмножество заданного \( n \)-элементного множества называют сочетанием (комбинацией) из \( n \) элементов по \( k \) элементов;
4. Биномом Ньютона называют такую формулу:
\( (a+b)^n = a^n + C_n^1a^{n-1}b^1 + … + C_n^{n-1}a^1b^{n-1} + b^n; \)
5. Свойства треугольника Паскаля:
1) Число равно сумме двух чисел над ним;
2) Сумма чисел в \( n \)-ой строке равна \( S = 2^n \).

1. Перестановкой конечного множества \(M\) называют любое упорядоченное множество, которое образовано из всех элементов данного множества \(M\).
Это означает, что если у нас есть множество \(M = \{a, b, c\}\), то его перестановками будут все возможные упорядоченные варианты, такие как:
\((a, b, c)\), \((a, c, b)\), \((b, a, c)\), \((b, c, a)\), \((c, a, b)\), \((c, b, a)\).

2. Любое \(k\)-элементное упорядоченное подмножество, взятое из данного \(n\)-элементного множества, называют размещением из \(n\) элементов по \(k\) элементов.
Например, если у нас есть множество \(M = \{a, b, c\}\) (\(n = 3\)), а \(k = 2\), то размещениями будут такие упорядоченные подмножества:
\((a, b)\), \((a, c)\), \((b, a)\), \((b, c)\), \((c, a)\), \((c, b)\).

3. Любое \(k\)-элементное подмножество заданного \(n\)-элементного множества называют сочетанием (комбинацией) из \(n\) элементов по \(k\) элементов.
В отличие от размещений, порядок элементов в сочетаниях не имеет значения.
Например, если у нас есть множество \(M = \{a, b, c\}\) (\(n = 3\)), а \(k = 2\), то сочетаниями будут такие подмножества:
\(\{a, b\}\), \(\{a, c\}\), \(\{b, c\}\).

4. Биномом Ньютона называют такую формулу:
\((a+b)^n = a^n + C_n^1a^{n-1}b^1 + C_n^2a^{n-2}b^2 + … + C_n^{n-1}a^1b^{n-1} + b^n\).
Здесь \(C_n^k\) — это биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле:
\(C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\), где \(n!\) — факториал числа \(n\).

5. Свойства треугольника Паскаля:
1) Каждое число в треугольнике Паскаля равно сумме двух чисел над ним. Например:
Если взять строку треугольника Паскаля: \(1, 3, 3, 1\), то каждое число внутри строки (\(3\)) получается как сумма двух чисел из предыдущей строки (\(1+2 = 3\)).

2) Сумма чисел в \(n\)-ой строке треугольника Паскаля равна \(S = 2^n\). Например:
— В строке \(n = 0\): числа \(1\), сумма равна \(2^0 = 1\).
— В строке \(n = 1\): числа \(1, 1\), сумма равна \(2^1 = 2\).
— В строке \(n = 2\): числа \(1, 2, 1\), сумма равна \(2^2 = 4\).
— В строке \(n = 3\): числа \(1, 3, 3, 1\), сумма равна \(2^3 = 8\).