ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 16.1 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Запишите формулу бинома Ньютона для \((a + b)^6\).

Формула бинома Ньютона для \((a + b)^6\):

\((a + b)^6 = a^6 + C_1 \cdot a^5 \cdot b + C_2 \cdot a^4 \cdot b^2 + C_3 \cdot a^3 \cdot b^3 + C_4 \cdot a^2 \cdot b^4 +\)
\(+ C_5 \cdot a \cdot b^5 + b^6\)

Подставляя значения коэффициентов \(C_k\), получаем:

\((a + b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6\)

Формула бинома Ньютона:

\((a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_k \cdot a^{n-k} \cdot b^k,\)

где \(C_k = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}\).

Для \(n = 6\) формула принимает вид:

\((a + b)^6 = a^6 + C_1 \cdot a^5 \cdot b + C_2 \cdot a^4 \cdot b^2 + C_3 \cdot a^3 \cdot b^3 + C_4 \cdot a^2 \cdot b^4 +\)
\(+ C_5 \cdot a \cdot b^5 + b^6.\)

Теперь подставим значения биномиальных коэффициентов:

\(C_1 = 6, \, C_2 = 15, \, C_3 = 20, \, C_4 = 15, \, C_5 = 6.\)

Подставляя коэффициенты, получаем:

\((a + b)^6 = a^6 + 6 \cdot a^5 \cdot b + 15 \cdot a^4 \cdot b^2 + 20 \cdot a^3 \cdot b^3 + 15 \cdot a^2 \cdot b^4 +\)
\(+ 6 \cdot a \cdot b^5 + b^6.\)

Или в более развёрнутом виде:

\((a + b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6.\)