ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 16.12 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

В выражении \((\sqrt{5} + 3^{1/3})^{100}\) раскрыли скобки по формуле бинома Ньютона. Требуется определить, какое количество полученных слагаемых являются рациональными числами.

Дано выражение:
\( S = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{100} \)
1) Число рационально:
\( (\sqrt{5}) \in \mathbb{R}, \, n \in \mathbb{Z}, \, n = 2k; \)
\( 100-n \in \mathbb{R}, \, 100 — n \)
\( (\sqrt{3}) \in \mathbb{Z}; \)
\( 100 — n = 3t, \, n = 100 — 3t; \)
2) Искомые числа:
\( n = 100 — 3 \cdot 2k; \)
\( n = 100 — 6k; \)
3) Количество таких чисел:
\( 0 \leq 6k \leq 100, \, k \geq 0; \)
\( 100-6k \geq 0, \, 6k \leq 100, \, k \leq 16; \)

Ответ: 17.

Дано выражение:
\( S = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{100} \)

1) Число рационально:
Рассмотрим условие, при котором выражение будет рациональным.
\((\sqrt{5}) \in \mathbb{R}\), \(n \in \mathbb{Z}\), \(n = 2k\);
\(100-n \in \mathbb{R}\), \(100 — n\)
\((\sqrt{3}) \in \mathbb{Z}\);

Для того чтобы число было рациональным, необходимо, чтобы \(100 — n\) делилось на 3.
\(100 — n = 3t\), следовательно, \(n = 100 — 3t\);

2) Искомые числа:
Подставим \(n = 2k\) в выражение для \(n\):
\(n = 100 — 3 \cdot (2k)\);
\(n = 100 — 6k\);

3) Количество таких чисел:
Рассмотрим ограничения:
\(0 \leq 6k \leq 100, \, k \geq 0\);
\(100-6k \geq 0, \, 6k \leq 100, \, k \leq 16\);

Таким образом, количество подходящих значений \(k\) от 0 до 16 включительно.

Ответ: 17.