ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 16.13 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

В выражении \((5^{1/3} + 2^{1/4})^{800}\) раскрыли скобки по формуле бинома Ньютона. Требуется определить, какое количество полученных слагаемых являются рациональными числами.

\( S = (35 + 12) \);

1) Число рационально:
\( \sqrt{5} \in \mathbb{R}, \, n \in \mathbb{Z}, \, n = 3k \);

\( 800 \in \mathbb{R}, \, 800 — 1 \in \mathbb{Z} \);

\( 800 — n = 4t, \, n = 800 — 4t \);

2) Искомые числа:
\( n = 800 — 4 \cdot 3k \);
\( n = 800 — 12k \);

3) Количество таких чисел:
\( 800 — 12k > 0, \, 12k \leq 800, \, k = 66 \);

Ответ: \( 67 \).

дано выражение:

\( S = (35 + 12) \);

1) рассмотрим рациональность числа:

— известно, что \( \sqrt{5} \in \mathbb{R} \), то есть принадлежит множеству действительных чисел;
— \( n \in \mathbb{Z} \), то есть \( n \) принадлежит множеству целых чисел;
— \( n = 3k \), где \( k \) — некоторое целое число.

далее:

— \( 800 \in \mathbb{R} \), то есть \( 800 \) — действительное число;
— \( 800 — 1 \in \mathbb{Z} \), то есть \( 800 — 1 = 799 \) — целое число.

выражение для \( n \):

\( 800 — n = 4t, \, n = 800 — 4t \),

где \( t \) — некоторое целое число.

2) определим искомые числа:

— первое выражение для \( n \): \( n = 800 — 4 \cdot 3k \), где \( k \) — целое число;
— преобразуем: \( n = 800 — 12k \).

3) найдем количество таких чисел:

условия для \( k \):

— \( 800 — 12k > 0 \): это означает, что \( 12k < 800 \);
— отсюда следует, что \( k < \frac{800}{12} \);
— вычислим: \( k < 66.67 \).

так как \( k \) — целое число, то максимальное значение \( k = 66 \).

проверим:

— при \( k = 66 \): \( 12k = 792, \, 800 — 12k = 8 > 0 \), условие выполняется;
— при \( k = 67, \, 12k = 804, \, 800 — 12k < 0 \), условие не выполняется.

итог:

количество подходящих значений \( k \): от \( k = 0 \) до \( k = 66 \), всего \( 67 \).

ответ: \( 67 \).