ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 16.14 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

При каком значении \( n \) восьмой член разложения выражения \((x^{1/3} + \frac{1}{x^2})^n\) по формуле бинома Ньютона не зависит от \( x \)?

\( S = (\sqrt{x} + 1)^n \);

Восьмой член суммы:
\( C_7 \cdot (\sqrt{x})^{n-7} \cdot 1^7 = C_7 \cdot (\sqrt{x})^{n-7} \);

\( x^2 \cdot (\sqrt{x})^{n-7} — 14 = x^0 \).

Подставляем:
\( x^3 \cdot x^{-2.7} = 1 \), \( x^3 = x^{2.7} \);
\( n — 7 \cdot \log_{x}(14) = 0 \), \( n — 7 = 14 \cdot 3 \);

\( n — 7 = 42 \), \( n = 42 + 7 = 49 \).

Ответ: \( 49 \).

Дано выражение:

\(
S = (\sqrt{x} + 1)^n
\)

Восьмой член суммы определяется как:

\(
C_7 \cdot (\sqrt{x})^{(n-7)} \cdot 1^7 = C_7 \cdot (\sqrt{x})^{(n-7)}
\)

Для того чтобы этот член не зависел от \(x\), показатель степени при \(x\) должен быть равен нулю. Рассмотрим дальнейшие преобразования:

\(
x^2 \cdot (\sqrt{x})^{(n-7)} — 14 = x^0
\)

Подставляем значения:

\(
x^3 \cdot x^{-2.7} = 1
\)

Следовательно:

\(
x^3 = x^{2.7}
\)

Решаем уравнение:

\(
n — 7 \cdot \log_{x}(14) = 0
\)

Это приводит к следующему выражению:

\(
n — 7 = 14 \cdot 3
\)

Вычисляем значение \(n\):

\(
n — 7 = 42, \quad n = 42 + 7 = 49
\)

Ответ:

\(
n = 49
\)