ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 16.16 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

В выражении
\(
\left( x^4 + \frac{1}{x} \right)^n
\)
раскрыли скобки по формуле бинома Ньютона. Известно, что шестой член разложения имеет вид \( 56x^7 \). Найдите \( n \).

\( f(x) = (x+1) \);

1) Шестой член суммы:
\( C_5 \cdot (x^4)^{n-5} \).
\( x^{4(n-5)} \cdot x^{-5} = x^7, \, x^{4n-25} = x^7 \);
\( 4n — 25 = 7, \, 4n = 32, \, n = 8 \);

2) Выполним проверку:
\( C_5 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3! \cdot 5!} = 56 \);

Ответ: \( n = 8 \).

\( f(x) = (x+1) \)

1) шестой член суммы:
выражение для шестого члена суммы:
\( C_5 \cdot (x^4)^{n-5} \).

раскроем степень:
\( x^{4(n-5)} \cdot x^{-5} = x^7 \).

сравним показатели степеней:
\( 4n — 25 = 7 \).

решим уравнение:
\( 4n = 32 \),
\( n = 8 \).

2) выполним проверку:
формула для биномиального коэффициента:
\( C_5 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3!} \).

вычислим факториал \( 3! \):
\( 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \).

подставим значения:
\( C_5 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{6} = 56 \).

ответ:
\( n = 8 \).