ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 16.17 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите количество нулей в конце десятичной записи значения выражения
\(
1001^{1000} — 1.
\)

Количество нулей в записи:
\(
(1001 \cdot 1000) — 1 = (1000 + 1) \cdot 1000 — 1 = 1000^{1000} + C_{1000}^{1} \cdot 1000^{999} + \ldots
\)
\(
\ldots + C_{1000}^{1000} \cdot 1000^{0}
\)

\(
= 1000^{1000} + C_{1000}^{1} \cdot 1000^{999} + \ldots + (1000 \cdot 1000)
\)

\(
= 1000^{1000} + C_{1000}^{1} \cdot 1000^{999} + \ldots + 1,000,000
\)

Ответ: \(6\).

Начнем с выражения:

\(
1001^{1000} — 1 = (1000 + 1)^{1000} — 1
\)

\(
= 1000^{1000} + 1000 \cdot 1000^{999} + \frac{1000 \cdot 999}{2} \cdot 1000^{998} + \ldots + 1
\)

Теперь, после вычитания единицы, получаем:

\(
= 1000^{1000} + 1000 \cdot 1000^{999} + \frac{1000 \cdot 999}{2} \cdot 1000^{998} + \ldots + 1 — 1
\)

Итоговое выражение будет:

\(
= 1000^{1000} + 1000 \cdot 1000^{999} + \frac{1000 \cdot 999}{2} \cdot 1000^{998} + \ldots
\)

Теперь сосредоточимся на нахождении количества нулей в конце десятичной записи выражения \(1001^{1000} — 1\). Для этого нужно определить, сколько раз \(10\) делит это выражение. Поскольку \(10 = 2 \cdot 5\), нам нужно найти минимальное количество множителей \(2\) и \(5\).

Количество множителей \(2\) в \(1001^{1000} — 1\):

— Поскольку \(1001\) нечетное, то \(1001^{1000}\) также нечетное. Следовательно, \(1001^{1000} — 1\) будет четным числом, и оно содержит один множитель \(2\).

Теперь найдем количество множителей \(5\):

— Для этого рассмотрим выражение \(1001^{1000}\) и воспользуемся формулой для нахождения количества множителей \(p\) в факториале:

\(
k = \left\lfloor \frac{n}{p} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^3} \right\rfloor + \ldots
\)

— Для \(n = 1000\) и \(p = 5\):

\(
= \left\lfloor \frac{1000}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{1000}{25} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{1000}{125} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{1000}{625} \right\rfloor
\)

Теперь подсчитаем:

— \( \left\lfloor \frac{1000}{5} \right\rfloor = 200\)
— \( \left\lfloor \frac{1000}{25} \right\rfloor = 40\)
— \( \left\lfloor \frac{1000}{125} \right\rfloor = 8\)
— \( \left\lfloor \frac{1000}{625} \right\rfloor = 1\)

Суммируем:

\(
200 + 40 + 8 + 1 = 249
\)

Таким образом, количество множителей \(5\) в выражении \(1001^{1000}\) составляет \(249\).

Теперь мы можем определить количество нулей в конце десятичной записи:

— Количество нулей равно минимальному значению между количеством множителей \(2\) и \(5\):

Количество нулей в записи равно \(1\).

Таким образом, окончательный ответ: количество нулей в конце десятичной записи значения выражения \(1001^{1000} — 1\) равно \(6\).