ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 16.18 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите количество нулей в конце десятичной записи значения выражения

\(
999^{1001} + 1.
\)

Количество нулей в записи:

\[
9991001 + 1 = 999 \cdot (1000 — 1)^{1000} + 1
\]

\[
= 999 \cdot \left(1000^{1000} — C_{1000}^{1} \cdot 1000^{999} + \dots — C_{1000}^{999} \cdot 1000\right) + 1
\]

\[
= 999 \cdot \left(1000^{1000} — C_{1000}^{1} \cdot 1000^{999} + \dots — C_{1000}^{999} \cdot 1000\right) + 999 + 1
\]

\[
= 999 \cdot \left(1000^{1000} — C_{1000}^{1} \cdot 1000^{999} + \dots — 1000 — 1000\right) + 1000
\]

Ответ: \(3\).

Количество нулей в записи:

Сначала представим выражение:

\((9991001 + 1)\)

Раскроем его, используя свойство умножения:

\((9991001 + 1 = 999 \cdot (1000 — 1)^{1000} + 1)\)

Теперь раскроем скобки с помощью бинома Ньютона:

\((999 \cdot (1000 — 1)^{1000} = 999 \cdot (1000^{1000} — C_{1000}^{1} \cdot 1000^{999} + C_{1000}^{2} \cdot 1000^{998} — \)
\( \dots — C_{1000}^{999} \cdot 1000 + 1))\)

Добавим оставшиеся части выражения:

\((999 \cdot (1000^{1000} — C_{1000}^{1} \cdot 1000^{999} + C_{1000}^{2} \cdot 1000^{998} — \dots — C_{1000}^{999} \cdot 1000 + 1) \)
\(+ 1)\)

Объединим подобные слагаемые:

\((= 999 \cdot (1000^{1000} — C_{1000}^{1} \cdot 1000^{999} + C_{1000}^{2} \cdot 1000^{998} — \dots — C_{1000}^{999} \cdot 1000) + \)
\(+ 999 + 1)\)

И упростим выражение:

\((= 999 \cdot (1000^{1000} — C_{1000}^{1} \cdot 1000^{999} + C_{1000}^{2} \cdot 1000^{998} — \dots — 1000 — 1000) +\)
\(+ 1000)\)

Подсчитаем количество нулей в итоговой записи. Ответ:

\((3)\)