ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 16.2 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Запишите формулу бинома Ньютона для \((a + b)^7\).

Записать формулу бинома Ньютона:

\(
(a + b)^7 = a^7 + C_1 \cdot a^6 b + C_2 \cdot a^5 b^2 + C_3 \cdot a^4 b^3 + C_4 \cdot a^3 b^4 + C_5 \cdot a^2 b^5 +
\)
\(
+ C_6 \cdot a b^6 + b^7
\)

или

\(
(a + b)^7 = a^7 + 7a^6b + 21a^5b^2 + 35a^4b^3 + 35a^3b^4 + 21a^2b^5 + 7ab^6 + b^7
\)

Формула бинома Ньютона для разложения выражения \((a + b)^n\) записывается следующим образом:

\(
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k
\)

где \(C_n^k\) — это биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле:

\(
C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}
\)

Для случая \(n = 7\) формула принимает вид:

\(
(a + b)^7 = \sum_{k=0}^{7} C_7^k \cdot a^{7-k} \cdot b^k
\)

Распишем это выражение подробно:

\(
(a + b)^7 = C_7^0 \cdot a^7 \cdot b^0 + C_7^1 \cdot a^6 \cdot b^1 + C_7^2 \cdot a^5 \cdot b^2 +
\)
\(
+ C_7^3 \cdot a^4 \cdot b^3 + C_7^4 \cdot a^3 \cdot b^4 + C_7^5 \cdot a^2 \cdot b^5 +
\)
\(
+ C_7^6 \cdot a^1 \cdot b^6 + C_7^7 \cdot a^0 \cdot b^7
\)

Теперь вычислим биномиальные коэффициенты:

\(
C_7^0 = 1, \quad C_7^1 = 7, \quad C_7^2 = 21, \quad C_7^3 = 35, \quad C_7^4 = 35, \quad C_7^5 = 21, \quad C_7^6 = 7,
\)
\(
\quad C_7^7 = 1
\)

Подставляя значения коэффициентов, получаем:

\(
(a + b)^7 = a^7 + 7a^6b + 21a^5b^2 + 35a^4b^3 + 35a^3b^4 + 21a^2b^5 + 7ab^6 + b^7
\)