ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 16.9 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что:

\(
1 + C(100, 1) \cdot 3 + C(100, 2) \cdot 3^2 + \dots + C(100, 99) \cdot 3^{99} + 3^{100} =
\)
\(
= 1 — C(200, 1) \cdot 3 + C(200, 2) \cdot 3^2 — \dots — C(200, 199) \cdot 3^{199} + 3^{200}.
\)

Доказать равенство:

\(
S_1 = 1 + C_{100} \cdot 3 + C_{100}^2 \cdot 3^2 + \dots + C_{99}^{100} \cdot 3^{99} + 3^{100};
\)

\(
S_2 = 1 — C_{200} \cdot 3 + C_{200}^2 \cdot 3^2 — \dots — C_{199}^{200} \cdot 3^{199} + 3^{200};
\)

\(
S_1 = (1 + 3)^{100} = 2^{200}, \quad S_2 = (1 — 3)^{200} = 2^{200}.
\)

Что и требовалось доказать.

Доказать равенство:

\(
S_1 = 1 + C(100, 1) \cdot 3 + C(100, 2) \cdot 3^2 + \dots + C(100, 99) \cdot 3^{99} + 3^{100};
\)

\(
S_2 = 1 — C(200, 1) \cdot 3 + C(200, 2) \cdot 3^2 — \dots — C(200, 199) \cdot 3^{199} + 3^{200};
\)

Рассмотрим \(S_1\). Согласно биномиальной формуле, выражение \((1 + 3)^{100}\) можно разложить следующим образом:

\(
(1 + 3)^{100} = \sum_{k=0}^{100} C(100, k) \cdot 1^{100-k} \cdot 3^k.
\)

Так как \(1^{100-k} = 1\), то получаем:

\(
(1 + 3)^{100} = 1 + C(100, 1) \cdot 3 + C(100, 2) \cdot 3^2 + \dots + C(100, 99) \cdot 3^{99} + 3^{100}.
\)

Следовательно, \(S_1 = (1 + 3)^{100}\).

Теперь рассмотрим \(S_2\). Согласно биномиальной формуле, выражение \((1 — 3)^{200}\) можно разложить следующим образом:

\(
(1 — 3)^{200} = \sum_{k=0}^{200} C(200, k) \cdot 1^{200-k} \cdot (-3)^k.
\)

Так как \(1^{200-k} = 1\), то получаем:

\(
(1 — 3)^{200} = 1 — C(200, 1) \cdot 3 + C(200, 2) \cdot 3^2 — \dots — C(200, 199) \cdot 3^{199} + 3^{200}.
\)

Следовательно, \(S_2 = (1 — 3)^{200}\).

Заметим, что по свойствам степеней:

\(
(1 + 3)^{100} = 2^{200}, \quad (1 — 3)^{200} = 2^{200}.
\)

Таким образом, \(S_1 = S_2 = 2^{200}\).

Что и требовалось доказать.