ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 19.12 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Есть r ящиков, в каждом из которых лежат n чёрных и m белых шаров. Из каждого ящика наугад берут по одному шару. Какова вероятность того, что среди взятых шаров будет ровно k чёрных?

Внутри \( r \) ящиков:
\( n \) — черных шаров;
\( m \) — белых шаров;

1) Извлечь черный шар:
\(
p = \frac{n}{n+m}, \quad q = \frac{m}{n+m};
\)

2) Ровно \( k \) черных шаров:
\(
P = C_r^k \left(\frac{n}{n+m}\right)^k \left(\frac{m}{n+m}\right)^{r-k};
\)

Внутри \( r \) ящиков находятся два типа шаров:

— \( n \) — количество черных шаров,
— \( m \) — количество белых шаров.

1. Вероятность извлечь черный шар
Вероятность извлечь черный шар из одного ящика определяется как отношение числа черных шаров \( n \) к общему числу шаров \( n + m \):

\(
p = \frac{n}{n + m}.
\)

Вероятность извлечь белый шар, соответственно, равна:

\(
q = \frac{m}{n + m}.
\)

Здесь:

— \( p \) — вероятность извлечь черный шар,
— \( q \) — вероятность извлечь белый шар.

2. Вероятность извлечь ровно \( k \) черных шаров из \( r \) ящиков
Чтобы найти вероятность того, что из \( r \) ящиков будет извлечено ровно \( k \) черных шаров, используется формула для вероятности в схеме Бернулли:

\(
P = C_r^k \cdot p^k \cdot q^{r-k},
\)

где:

— \( P \) — вероятность извлечь ровно \( k \) черных шаров,
— \( C_r^k \) — число сочетаний из \( r \) по \( k \), которое показывает количество способов выбрать \( k \) успешных исходов из \( r \),
— \( p^k \) — вероятность извлечь \( k \) черных шаров,
— \( q^{r-k} \) — вероятность извлечь \( r — k \) белых шаров.

Формула для числа сочетаний выглядит следующим образом:

\(
C_r^k = \frac{r!}{k! \cdot (r — k)!},
\)

где:

— \( r! \) — факториал числа \( r \), равный произведению всех натуральных чисел от 1 до \( r \),
— \( k! \) — факториал числа \( k \),
— \( (r — k)! \) — факториал числа \( r — k \).

Подставляя выражения для \( p = \frac{n}{n+m} \) и \( q = \frac{m}{n+m} \), формула вероятности принимает вид:

\(
P = C_r^k \cdot \left(\frac{n}{n+m}\right)^k \cdot \left(\frac{m}{n+m}\right)^{r-k}.
\)