ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 19.16 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Гроссмейстер проводит сеанс одновременной игры в шахматы на 40 досках. Вероятность того, что гроссмейстер выиграет каждую отдельную партию, равна 97%. Какова вероятность того, что в сеансе гроссмейстер выиграет не менее 38 партий?

Вероятность выиграть одну партию \( p = 0.97 \);
Сможет выиграть не менее 38-и партий из 40:
\( P = P(m \geq 38) = P(38) + P(39) + P(40) \);
\( P = C_{40}^{38} \cdot (0.97)^{38} \cdot (0.03)^2 + C_{40}^{39} \cdot (0.97)^{39} \cdot (0.03)^1 + (0.97)^{40} \);
\( P = 40 \cdot 39 \cdot 0.00028 + 40 \cdot 0.00915 + 1 \cdot 0.29571 \);
\( P = 0.2184 + 0.366 + 0.29571 \approx 0.88011 \approx 88\% \);
Ответ: 88%.

Вероятность выиграть одну партию \( p = 0.97 \).

Нужно найти вероятность того, что игрок сможет выиграть не менее 38 партий из 40. Это можно записать как:
\( P = P(m \geq 38) = P(38) + P(39) + P(40) \).

Каждое слагаемое \( P(k) \) можно вычислить по формуле биномиального распределения:
\( P(k) = C_{40}^{k} \cdot (p)^k \cdot (1 — p)^{40 — k} \),
где \( C_{40}^{k} \) — это число сочетаний из 40 по \( k \), равное:
\( C_{40}^{k} = \frac{40!}{k! \cdot (40 — k)!} \).

Подставим значения для \( P(38) \), \( P(39) \) и \( P(40) \):

1. Для \( P(38) \):
\( P(38) = C_{40}^{38} \cdot (0.97)^{38} \cdot (0.03)^2 \).
Число сочетаний:
\( C_{40}^{38} = \frac{40!}{38! \cdot (40 — 38)!} = \frac{40 \cdot 39}{2!} = 780 \).
Тогда:
\( P(38) = 780 \cdot (0.97)^{38} \cdot (0.03)^2 \).

2. Для \( P(39) \):
\( P(39) = C_{40}^{39} \cdot (0.97)^{39} \cdot (0.03)^1 \).
Число сочетаний:
\( C_{40}^{39} = \frac{40!}{39! \cdot (40 — 39)!} = 40 \).
Тогда:
\( P(39) = 40 \cdot (0.97)^{39} \cdot (0.03)^1 \).

3. Для \( P(40) \):
\( P(40) = C_{40}^{40} \cdot (0.97)^{40} \cdot (0.03)^0 \).
Число сочетаний:
\( C_{40}^{40} = 1 \).
Тогда:
\( P(40) = 1 \cdot (0.97)^{40} \cdot (1) = (0.97)^{40} \).

Теперь сложим все три вероятности:
\( P = P(38) + P(39) + P(40) \).

Подставим значения:

1. \( P(38) = 780 \cdot (0.97)^{38} \cdot (0.03)^2 = 780 \cdot 0.00028 = 0.2184 \).
2. \( P(39) = 40 \cdot (0.97)^{39} \cdot (0.03)^1 = 40 \cdot 0.00915 = 0.366 \).
3. \( P(40) = (0.97)^{40} = 0.29571 \).

Суммируем:
\( P = 0.2184 + 0.366 + 0.29571 = 0.88011 \).

Окончательный результат:
\( P \approx 88\% \).

Ответ: \( 88\% \).