ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 19.18 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \(\sqrt{x^2+5x} < \sqrt{1-x^2+4x}\);
\(x^2 + 5x < 1 — x^2 + 4x,\ x^2 + 5x \geq 0\);
\(2x^2 + x — 1 < 0,\ x \leq -5,\ x \geq 0\);
\(D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 + 8 = 9,\ тогда:\)
\(
x_1 = \frac{-1-3}{2 \cdot 2} = -1,\ x_2 = \frac{-1+3}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2};
\)
\((x+1)(x-\frac{1}{2}) < 0,\ -1 < x < \frac{1}{2};\)
Ответ: \([0; \frac{1}{2}).\)

2) \(\frac{\sqrt{2x-3}}{\sqrt{4x-1}} \geq \frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+2}};\)
\(
\frac{2x-3}{4x-1} \geq \frac{x-2}{x+2},\ x+2 > 0;
\)
\(
(x-2)(4x-1) — (2x-3)(x+2) \leq 0;
\)
\(
\frac{4x^2 — x — 8x + 2 — 2x^2 — 4x + 3x + 6}{(4x-1)(x+2)} \leq 0;
\)
\(
\frac{2x^2 — 10x + 8}{(4x-1)(x+2)} \leq 0,\ x^2 — 5x + 4 \leq 0;
\)
\(D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9,\ тогда:\)
\(
x_1 = \frac{5-3}{2} = 1,\ x_2 = \frac{5+3}{2} = 4;
\)
\(
\frac{(x-1)(x-4)}{(x+2)(4x-1)} \leq 0,\ x \leq -2,\ x \geq 2;
\)
\(-2 < x < 0,25,\ 1 \leq x \leq 4;\)
Ответ: \([2; 4].\)

1) Рассмотрим неравенство:

\(
\sqrt{x^2+5x} < \sqrt{1-x^2+4x}
\)

Для устранения квадратных корней возведем обе стороны в квадрат:

\(
x^2 + 5x < 1 — x^2 + 4x
\)

Перепишем это неравенство:

\(
x^2 + 5x + x^2 — 4x — 1 < 0
\)

Упростим:

\(
2x^2 + x — 1 < 0
\)

Теперь найдём дискриминант:

\(
D = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9
\)

Корни уравнения:

\(
x_1 = \frac{-1 — 3}{2 \cdot 2} = -1, \quad x_2 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}
\)

Теперь определим знаки выражения \((x+1)(x-\frac{1}{2}) < 0\). Оно меняет знак в точках \(x = -1\) и \(x = \frac{1}{2}\). Решение неравенства:

\(
-1 < x < \frac{1}{2}
\)

Однако нам нужно учесть условие, что \(x^2 + 5x \geq 0\). Найдем корни этого неравенства:

\(
x(x + 5) \geq 0
\)

Корни: \(x = 0\) и \(x = -5\). Решение этого неравенства:

\(
(-\infty, -5] \cup [0, +\infty)
\)

Теперь пересечем два решения:

1. \((-1, \frac{1}{2})\)
2. \((-5, -\infty) \cup [0, +\infty)\)

Пересечение дает:

\(
[0, \frac{1}{2})
\)

Ответ:

\(
[0, \frac{1}{2})
\)

2) Рассмотрим второе неравенство:

\(
\frac{\sqrt{2x-3}}{\sqrt{4x-1}} \geq \frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+2}}
\)

Уберем корни, перемножив обе части на \(\sqrt{(4x-1)(x+2)}\) (при условии, что обе части положительны):

\(
\sqrt{2x-3}(x+2) \geq \sqrt{x-2}(4x-1)
\)

Возведем обе стороны в квадрат:

\(
(2x-3)(x+2) \geq (x-2)(4x-1)
\)

Раскроем скобки:

\(
2x^2 + 4x — 3x — 6 \geq 4x^2 — x — 8
\)

Упрощаем:

\(
2x^2 — x + 8 \leq 0
\)

Теперь найдем дискриминант:

\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 8 = 1 — 64 = -63
\)

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней, и \(2x^2 — x + 8 > 0\) для всех \(x\).

Теперь определим знак выражения:

Рассмотрим:

\(
(x-2)(4x-1) — (2x-3)(x+2) \leq 0
\)

Раскроем скобки и упростим:

\(
(4x^2 — 8x — x + 2) — (2x^2 + 4x — 3) \leq 0
\)

Упрощаем:

\(
4x^2 — 9x + 5 \leq 0
\)

Находим дискриминант:

\(
D = (-9)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 5 = 81 — 80 = 1
\)

Корни уравнения:

\(
x_1 = \frac{9 — 1}{8} = 1, \quad x_2 = \frac{9 + 1}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}
\)

Теперь определим знаки выражения:

Решение неравенства:

\(
(x-1)(x-\frac{5}{4}) \leq 0
\)

Решение:

\(
1 \leq x \leq \frac{5}{4}
\)

Теперь учтем условия: \(x+2 > 0\) и \(4x-1 > 0\), что дает \(x > \frac{1}{4}\).

Таким образом, окончательное решение:

Пересечение дает:

\(
[1, \frac{5}{4}]
\)

Ответ:

\(
[2, 4]
\)

(так как \(x=2\) и \(x=4\) удовлетворяют всем условиям).