ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 19.5 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Кубик подбрасывают пять раз;
Шестерка была ровно два раза:

\(
P = C_{3}^{5} \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^2 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^3
\)

\(
P = \frac{5!}{2! \cdot 3!} \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^2 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^3
\)

\(
P = \frac{10}{7776} \approx 0.1607 \approx 16\%
\)

Ответ: \(16\%\).

Кубик подбрасывают пять раз. Требуется найти вероятность того, что шестерка выпадет ровно два раза.

Обозначим вероятность выпадения шестерки за одно подбрасывание как \(\frac{1}{6}\), а вероятность того, что шестерка не выпадет, как \(\frac{5}{6}\). Поскольку кубик подбрасывают пять раз, а шестерка должна выпасть ровно два раза, вероятность такого события можно найти по формуле Бернулли:

\(
P = C_{k}^{n} \cdot \left( p \right)^k \cdot \left( 1 — p \right)^{n-k}
\)

где:
— \(n = 5\) — общее число подбрасываний,
— \(k = 2\) — число успешных исходов (выпадение шестерки),
— \(p = \frac{1}{6}\) — вероятность успеха за одно подбрасывание,
— \(C_{k}^{n}\) — число сочетаний из \(n\) по \(k\), вычисляемое как \(\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}\).

Сначала вычислим число сочетаний \(C_{2}^{5}\):

\(
C_{2}^{5} = \frac{5!}{2! \cdot (5-2)!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10
\)

Теперь подставим все значения в формулу вероятности:

\(
P = C_{2}^{5} \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^2 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^3
\)

\(
P = 10 \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^2 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^3
\)

Выполним вычисления:

\(
P = 10 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{125}{216}
\)

\(
P = 10 \cdot \frac{125}{7776}
\)

\(
P = \frac{1250}{7776}
\)

Упростим дробь:

\(
P = \frac{625}{3888} \approx 0.1607
\)

Ответ: вероятность того, что шестерка выпадет ровно два раза, составляет \(16\%\).